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量子力学例题
第二章
一．求解一位定态薛定谔方程
1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数
[解]薛定谔方程:
当,故有
利用波函数在处的连续条件
由处连续条件:
由处连续条件:
.
给定一个n值,可解一个,为分离能级.
2．粒子在一维势井中的运动
求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数
[解]体系的定态薛定谔方程为
当时
对束缚态
解为
在处连续性要求
将代入得
.
又
相应归一化波函数为:
归一化波函数为:
3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为
求束缚态的能级所满足的方程
[解]束缚态下粒子能量的取值范围为
.
当时
当时
薛定谔方程为
令
解为
当时
令
解为
当时
薛定谔方程为
.
令
薛定谔方程为
解为
由
波函数满足的连续性要求,有
.
要使有非零解不能同时为零
则其系数组成的行列式必须为零
计算行列式,得方程
例题
主要类型:1.算符运算;2.力学量的平均值;3.力学量几率分布.
一.有关算符的运算
1.证明如下对易关系
(1)
(2)
(3)
(4)
.
(5)
[证]
(1)
(2)
(3)
一般地,若算符是任一标量算符,有
(4)
.
一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有
(5)
=0
同理：。
2.证明哈密顿算符为厄密算符
[解]考虑一维情况
.
为厄密算符,为厄密算符,为实数
为厄密算符为厄密算符
3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,
取:试证明:也是和共同本征函数,对
应本征值
分别为:。
.
[]
。
是的对应本征值为的本征函数
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