第42炼-利用函数性质与图像比较大小.doc

第42炼利用函数性质与图像比拟大小

一、根底知识：

〔一〕利用函数单调性比拟大小

1、函数单调性的作用：在单调递增，那么

(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁〕

2、导数运算法那么：

〔1〕

〔2〕

3、常见描述单调性的形式

〔1〕导数形式：单调递增；单调递减

〔2〕定义形式：或：表示函数值的差与对应自变量的差同号，那么说明函数单调递增，假设异号那么说明函数单调递减

4、技巧与方法：

〔1〕此类问题往往条件比拟零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点

〔2〕在构造函数时要根据条件的特点进行猜测，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整

〔3〕在比拟大小时，通常可利用函数性质〔对称性，周期性〕将自变量放入至同一单调区间中进行比拟

〔二〕数形结合比拟大小

1、对称性与单调性：假设单调性与对称性，那么可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比拟自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系

〔1〕假设关于轴对称，且单调增，那么图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小

〔2〕假设关于轴对称，且单调减，那么图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大

2、函数的交点：如果所比拟的自变量是一些方程的解，那么可将方程的根视为两个函数的交点。抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图像作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小

三、例题精析：

例1：对于上可导的任意函数，假设满足，那么必有〔〕

A.B.

C.D.

思路：由可按各项符号判断出与异号，即时，,时，在单调递减，在上单调递增

，进而

答案：C

小炼有话说：相乘因式与零比拟大小时，可分别判断每一个因式的符号，再判断整个式子的符号。这样做可以简化表达式的运算。

例2：定义域为的奇函数的导函数为，当时，，假设，那么以下关于的大小关系正确的选项是〔〕

A.B.C.D.

思路：观察所给不等式，左侧呈现轮流求导的特点，所比拟大小的的结构均为的形式，故与不等式找到联系。当时，，即，令，由此可得在上单调递增。为奇函数，可判定出为偶函数，关于轴对称。，作图观察距离轴近的函数值小，与可作差比拟大小：

进而可得：

答案：D

例3：函数在定义域内可导，假设，且当时，，设，那么的大小关系是〔〕

A.B.C.D.

思路：由可判断出关于轴对称，再由，可得时，，所以在单调递增，由轴对称的特点可知：在单调递减。作出草图可得：距离越近的点，函数值越大。所以只需比拟自变量距离的远近即可判断出

答案：B

例4：是周期为的偶函数，且在区间上是增函数，那么的大小关系是〔〕

A.B.

C.D.

思路：的周期为，所以可利用周期性将自变量放置同一个周期内：，而由偶函数及单调递增，作图可知在区间中，距离轴近的函数值小，所以有

答案：C

小炼有话说：周期性的一大应用就是可在区间中找到与所给自变量相同函数值的点。从而代替原来的自变量。

例5：函数为偶函数，当时，函数，设，，那么的大小关系为〔〕

A.B.C.D.

思路：此题依然是利用对称性与单调性比拟函数值大小，先分析的性质，由为偶函数可得：，从而关于轴对称，当，可计算，所以在单调递减，结合对称性可得距离对称轴越近，函数值越大，所以

答案：D

小炼有话说：此题的关键在于确定入手点是用函数的对称性单调性比拟大小，从而对的处理才会想到选出单调性而不是将自变量代入解析式。所以说题目中有的条件可以有多种用途，要根据所求及其他条件来选择一个比拟正确的方向。

例6：函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令，，那么大小关系为________

思路：由为偶函数且在单调递增可得距离轴越近，函数值越小。所以需比拟自变量与轴距离：，那么需比拟的大小，因为，所以，所以

答案：

小炼有话说：此题实质上是一道三角函数大小关系和函数性质比拟大小的综合题，只需分解成这两步分别处理即可。在比拟三角函数时，此题有这样两个亮点：一是“求同存异”发现涉及的角存在互补关系，进而利用诱导公式和绝对值运算将角统一，以便于比拟；二是利用好“桥梁”，比拟的关键之处在与这个角的选择，这个角是两条分界线