专题15 圆锥曲线焦点三角形 微点1 焦点三角形角度与离心率问题（解析版）.docxVIP

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专题15圆锥曲线焦点三角形

微点1焦点三角形角度与离心率问题

【微点综述】

离心率是椭圆中一个非常重要的定形的量，它的定义式早已被大家所熟悉．笔者从焦点三角形的角度作了探究，发现了椭圆的离心率与焦点三角形中的某些量存在关系，现论述如下：

定理一、如图1，在椭圆中，为左、右焦点，为椭圆上任意一点，是角平分线与轴的交点，则椭圆的离心率．

图1图2图3图4

证明：是平分线，．

定理二、如图2，在椭圆中，为左、右焦点，为椭圆上任意一点，是△的内心，是的延长线与轴的交点，则椭圆的离心率．

证明：连接．所在的直线是角平分线，

．

定理三、如图3，在椭圆中，为左、右焦点，为椭圆上任意一点，，则椭圆的离心率．

证明：在△中，

．

同理可证，双曲线的结论：

定理四、如图4，在双曲线中，为左、右焦点，为双曲线上任意一点，，则双曲线的离心率．

证明：如图4，在△中，．

定理五、如图5，在椭圆中，为左、右焦点，为椭圆上任意一点，是外角平分线与轴的交点，且，则椭圆的离心率．

图5图6

证明：根据定理三易证．

定理六、如图6，在椭圆中，为左、右焦点，为椭圆上任意一点，是过右焦点的焦点弦，为焦点弦的垂线与轴的交点，则．

证明：设，中点．

．

都在上，

由点差法得，则直线的中垂线的方程为：，

．

结论：在椭圆中，在双曲线中．

证明：运用正弦定理即可证明

．

典型例题

1．椭圆两焦点为，，以为直径的圆与椭圆的一个交点为，且，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

2．已知，是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得，则该椭圆的离心率的取值范围是

A． B． C． D．

3．已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，则双曲线的离心率为_____________.

（2022·广西柳州·模拟预测（理））

4．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（????）

A． B． C． D．

【评注】求双曲线离心率的三种方法：

①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；

②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

5．已知双曲线（，）左、右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（????）

A． B． C． D．

（2022·河南开封·高二期末）

6．已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【强化训练】

7．已知，分别为椭圆的左、右两个焦点，是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且，则这个椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

（2022·重庆一中高一期末）

8．已知A，B为椭圆E的左，右焦点，点M在E上，为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（????）

A． B． C．或 D．或

（2022·贵州遵义·高二期末）

9．椭圆C：左右焦点分别为，，P为C上除左右端点外一点，若，，则椭圆C的离心率为（????）

A． B． C． D．

（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）

10．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（????）

A． B． C． D．

（2022·四川成都·模拟预测）

11．椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，点在椭圆上，满足，则椭圆的离心率为（????）

A． B．

C． D．

（2022·江西上饶·高二期末）

12．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末）

13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，的延长线交于，，则的离心率（????）

A． B． C． D．

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参考答案：

1．D

【分析