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试卷第=page11页,共=sectionpages33页
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专题15圆锥曲线焦点三角形
微点1焦点三角形角度与离心率问题
【微点综述】
离心率是椭圆中一个非常重要的定形的量,它的定义式早已被大家所熟悉.笔者从焦点三角形的角度作了探究,发现了椭圆的离心率与焦点三角形中的某些量存在关系,现论述如下:
定理一、如图1,在椭圆中,为左、右焦点,为椭圆上任意一点,是角平分线与轴的交点,则椭圆的离心率.
图1图2图3图4
证明:是平分线,.
定理二、如图2,在椭圆中,为左、右焦点,为椭圆上任意一点,是△的内心,是的延长线与轴的交点,则椭圆的离心率.
证明:连接.所在的直线是角平分线,
.
定理三、如图3,在椭圆中,为左、右焦点,为椭圆上任意一点,,则椭圆的离心率.
证明:在△中,
.
同理可证,双曲线的结论:
定理四、如图4,在双曲线中,为左、右焦点,为双曲线上任意一点,,则双曲线的离心率.
证明:如图4,在△中,.
定理五、如图5,在椭圆中,为左、右焦点,为椭圆上任意一点,是外角平分线与轴的交点,且,则椭圆的离心率.
图5图6
证明:根据定理三易证.
定理六、如图6,在椭圆中,为左、右焦点,为椭圆上任意一点,是过右焦点的焦点弦,为焦点弦的垂线与轴的交点,则.
证明:设,中点.
.
都在上,
由点差法得,则直线的中垂线的方程为:,
.
结论:在椭圆中,在双曲线中.
证明:运用正弦定理即可证明
.
典型例题
1.椭圆两焦点为,,以为直径的圆与椭圆的一个交点为,且,则椭圆的离心率为(????)
A. B. C. D.
2.已知,是椭圆的左右两个焦点,若椭圆上存在点P使得,则该椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
3.已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点,且,则双曲线的离心率为_____________.
(2022·广西柳州·模拟预测(理))
4.如图1所示,双曲线具有光学性质;从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:的左、右焦点分别为,,从发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且,,则E的离心率为(????)
A. B. C. D.
【评注】求双曲线离心率的三种方法:
①定义法,通过已知条件列出方程组,求得得值,根据离心率的定义求解离心率;
②齐次式法,由已知条件得出关于的二元齐次方程,然后转化为关于的一元二次方程求解;
③特殊值法:通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.
5.已知双曲线(,)左、右焦点分别为,,若双曲线右支上存在点使得,则离心率的取值范围为(????)
A. B. C. D.
(2022·河南开封·高二期末)
6.已知,是椭圆C:的左、右焦点,O为坐标原点,点M是C上点(不在坐标轴上),点N是的中点,若MN平分,则椭圆C的离心率的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【强化训练】
7.已知,分别为椭圆的左、右两个焦点,是以为直径的圆与该椭圆的一个交点,且,则这个椭圆的离心率为(????)
A. B. C. D.
(2022·重庆一中高一期末)
8.已知A,B为椭圆E的左,右焦点,点M在E上,为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为(????)
A. B. C.或 D.或
(2022·贵州遵义·高二期末)
9.椭圆C:左右焦点分别为,,P为C上除左右端点外一点,若,,则椭圆C的离心率为(????)
A. B. C. D.
(2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末)
10.已知,是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为(????)
A. B. C. D.
(2022·四川成都·模拟预测)
11.椭圆的左右焦点分别为,右顶点为,点在椭圆上,满足,则椭圆的离心率为(????)
A. B.
C. D.
(2022·江西上饶·高二期末)
12.已知是椭圆的两个焦点,为上一点,且,,则的离心率为(????)
A. B. C. D.
(2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末)
13.已知椭圆的左、右焦点分别为,,上顶点为,的延长线交于,,则的离心率(????)
A. B. C. D.
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参考答案:
1.D
【分析
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