空间几何体的表面积与体积教案.doc

空间几何体的外表积与体积

一、柱体、锥体、台体的外表积

A.多面体的外表积

1.多面体的外表积求法：求平面展开图的面积

注：把多面体的各个面平铺在平面上，所得图形称之为多面体的平面积展开图.

2.直棱柱的侧面积与全面积

〔1〕侧面积

①求法：侧面展开〔如图〕；

②公式：〔其中为底面周长，为侧棱长〕；

〔2〕外表积：侧面积＋两底面积.

〔3〕推论：

①正棱柱的侧面积：〔其中为底面周长，为侧棱长〕.

②长方体的外表积：.〔其中分别为长方体的长宽高〕

③正方体的外表积：〔为正方体的棱长〕.

3.斜棱柱侧面积与全面积

〔1〕侧面积：

①求法：作出直截面〔如图〕；

注：这种处理方法蕴含着割补思想.

②公式：〔其中为直截面周长，为侧棱长〕；

〔2〕外表积：侧面积＋两底面积.

4.正棱锥的侧面积与全面积

〔1〕侧面积

①求法：侧面展开〔如图〕；

②公式：〔其中为底面周长，为斜高〕；

〔2〕外表积：侧面积＋底面积.

5.正棱台的侧面积与全面积

〔1〕侧面积

①求法：侧面展开〔如图〕；

②公式：〔其中、为底面周长，为斜高〕；

〔2〕外表积：侧面积＋两底面积.

6.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的内在联系：

正棱台侧面积公式：

正棱台侧面积公式：

正棱柱侧面积公式：

正棱锥侧面积公式：

B.旋转体的外表积

1.圆柱的侧面积与全面积

〔1〕侧面积：

①求法：侧面展开〔如图〕；

②公式：〔为两底半径，为母线长〕；

〔2〕外表积：.

2.圆锥的侧面积与外表积

〔1〕侧面积

①求法：侧面展开〔如图〕；

②公式：；

〔2〕外表积：〔为两底半径，为母线长〕.

事实上：圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长为，半径为圆锥母线，故面积为.

3.圆台的侧面积与外表积

〔1〕侧面积

①求法：侧面展开〔如图〕；

②公式：；

事实上：圆台侧面展开图为扇环，扇环的弧长分别为、，半径分别为、，故圆台侧面积为

，∵，∴.

〔2〕外表积：.〔、分别为上、下底面半径，为母线长〕

4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的内在联系：

圆台侧面积公式：

圆台侧面积公式：

圆柱侧面积公式：

圆锥侧面积公式：

二、柱体、锥体、台体的体积

A.棱柱、棱锥、棱台的体积

1.棱柱体积公式：〔为高，为底面面积〕；

2.棱锥体积公式：〔为高，为底面面积〕；

3.棱台体积公式：〔为高，、分别为两底面面积〕.

事实上，设小棱锥高为，那么大棱锥高为.于是.

∵，

∴.

圆台侧面积公式：圆柱侧面积公式：圆锥侧面积公式：4.棱柱、棱锥、棱

圆台侧面积公式：

圆柱侧面积公式：

圆锥侧面积公式：

B.圆柱、圆锥、圆台的体积

1.圆柱的体积：〔为高，为底面半径〕.

2.圆锥的体积：〔为高，为底面半径〕.

3.圆台的体积：〔、分别为上、下底半径，为高〕.

事实上，设小圆锥高为，那么大圆锥高为〔如图〕.

于是.

∵，∴.

圆台体积公式：圆柱体积公式：圆锥体积公式：4.圆柱、圆锥、圆

圆台体积公式：

圆柱体积公式：

圆锥体积公式：

三、球的体积与外表积

1.球的体积.

2.球的外表积.

四、题型例如

A.直用公式求面积、求体积

例1〔1〕一个正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为10，求其侧面积、外表积和体积；

侧面积：120；外表积：120+；体积.

〔2〕一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的侧面积、外表积和体积；

侧面积：；外表积：；体积：.

〔3〕球的外表积是，求它的体积.结果：.

〔4〕在长方体中，用截面截下一个棱锥，求棱锥的体积与剩余局部的体积之比.结果.

练习：

1.正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为，求正四棱锥的侧面积和外表积.结果：，.

2.平行四边形中，，，，以为轴旋转一周，得旋转体.求旋转体的外表积.

结果：.

3.正方体的棱长为1，那么沿面对角线、、截得的三棱锥的体积为C

A.B.C.D.1

4.正四棱台两底面均为正方形，边长分别为4cm、8cm，求它的侧面积和体积.

结果：侧面积：；体积：.

5.正四棱锥各侧面均为正三角形，侧棱长为5，求它的侧面积、外表积和体积.

结果：侧面积：；外表积：；体积：.

6.假设正方体的棱长为，那么以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为.

俯

俯视图

2

2

正〔主〕视图

2

侧〔左〕视图

2

2

2

B.根据三视图求面积、体积

例3一空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为

A.B.

C.D.

结果：C.

练习：

正视图侧视图俯视图4

正视图

侧视图

俯视图

4

如下图，那么这个棱柱的体积为.

结果：.

正视图侧视图俯视图2

正视图

侧视图

俯视图

直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为

A.1B.

C.D.

答案：C.

3.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰