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试卷第=page11页,共=sectionpages33页
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专题13极坐标秒解圆锥曲线
微点1极坐标秒解圆锥曲线
【微点综述】
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,是坐标原点,是圆锥曲线上一点,以为极点,极径的长度可以方便表示出来,可以达到简化计算的目的.也可以圆锥曲线的一个焦点为极径,利用圆锥曲线的统一定义得圆锥曲线统一的极坐标方程,从而解决问题.
一、以原点为极点
以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,
(1)设椭圆上点的极坐标为,即,,则,变形可得,其中为焦点到相应准线的距离.
(2)设双曲线上点的极坐标为,即,,则,变形可得,其中为焦点到相应准线的距离.
(3)设抛物线上点的极坐标为,即,,则.
1.设圆的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(I)证明为定值,并写出点E的轨迹方程;
(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
例2.(2022河南二模)
2.设椭圆的离心率,右焦点到直线的距离,O为坐标原点.
1求椭圆C的方程;
2过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.
例3.(2022虹口区月考)
3.已知椭圆的长轴为,且过点
(1)求椭圆的方程;
(2)设点为原点,若点在曲线上,点在直线上,且,试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论.
例4.(2022衡阳一模)
4.已知椭圆的离心率为,其左右焦点分别为、,,设点,是椭圆上不同两点,且这两点与坐标原点的连线的斜率之积.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:为定值,并求该定值.
二、以焦点为极点
1.以圆锥曲线的焦点为极点,极轴垂直于准线建立极坐标系(如图①),三种圆锥曲线的统一极坐标方程为:①,其中为焦点到相应准线的距离.当时,表示以左焦点为极点的椭圆;当时,表示以焦点为极点、开口向右的抛物线;当时,表示以右焦点为极点的双曲线的右支,若允许,则方程就表示整条双曲线.
图①图②图③图④
证明:仅证双曲线情形,椭圆和抛物线同理可证.
如图⑤,设是双曲线左支上的一点,连结,过作右准线于,轴于.
在终边的延长线上,,由定义有,又,,即,从而当时,方程表示双曲线左支,因而因而在广义坐标系下方程表示整条双曲线.
图⑤
2.以圆锥曲线的焦点为极点,极轴垂直于准线建立极坐标系(如图②),三种圆锥曲线的统一极坐标方程为:②,其中为焦点到相应准线的距离.当时,表示以右焦点为极点的椭圆;当时,表示以焦点为极点、开口向左的抛物线;当时,表示以左焦点为极点的双曲线的左支,若允许,则方程就表示整条双曲线.
3.以圆锥曲线的焦点为极点,以平行于准线的直线为极轴,建立极坐标系,三种圆锥曲线的统一极坐标方程为③(如图③)或④(如图④).
5.已知椭圆的离心率为,过右焦点且斜率为的直线与相交于两点.若,则
A.1 B. C. D.2
例6.(2021年年高考全国Ⅱ卷20)
6.已知椭圆C的方程为,右焦点为,且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M,N是椭圆C上的两点,直线与曲线相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是.
7.如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线和与椭圆的交点分别为和.
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线、的斜率分别为、,证明;
(Ⅲ)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
8.在平面直角坐标系中,椭圆:的右焦点为
(,为常数),离心率等于0.8,过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点.
⑴求椭圆的标准方程;
⑵若时,,求实数;
⑶试问的值是否与的大小无关,并证明你的结论.
9.如图,椭圆的顶点为,,,,焦点为,,,.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点,与椭圆相交于A,B两点的直线,.是否存在上述直线l使成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
10.如图,中心在原点O的椭圆的右焦点为,右准线l的方程为:.
(1)求椭圆的方程;
(2)在椭圆上任取三个不同点,使,证明:为定值,并求此定值.
【针对训练】
11.已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于、两点,若,则的离心率为(????)
A. B. C. D.
12.椭圆的右焦点为
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