专题13 极坐标秒解圆锥曲线 微点1 极坐标秒解圆锥曲线（解析版）.docxVIP

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专题13极坐标秒解圆锥曲线

微点1极坐标秒解圆锥曲线

【微点综述】

在圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，是坐标原点，是圆锥曲线上一点，以为极点，极径的长度可以方便表示出来，可以达到简化计算的目的．也可以圆锥曲线的一个焦点为极径，利用圆锥曲线的统一定义得圆锥曲线统一的极坐标方程，从而解决问题．

一、以原点为极点

以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，

（1）设椭圆上点的极坐标为，即，，则，变形可得，其中为焦点到相应准线的距离．

（2）设双曲线上点的极坐标为，即，，则，变形可得，其中为焦点到相应准线的距离．

（3）设抛物线上点的极坐标为，即，，则．

1．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

例2．（2022河南二模）

2．设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点．

1求椭圆C的方程；

2过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

例3．（2022虹口区月考）

3．已知椭圆的长轴为，且过点

（1）求椭圆的方程；

（2）设点为原点，若点在曲线上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

例4．（2022衡阳一模）

4．已知椭圆的离心率为，其左右焦点分别为、，，设点，是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积．

(1)求椭圆的方程；

(2)求证：为定值，并求该定值．

二、以焦点为极点

1．以圆锥曲线的焦点为极点，极轴垂直于准线建立极坐标系（如图①），三种圆锥曲线的统一极坐标方程为：①，其中为焦点到相应准线的距离．当时，表示以左焦点为极点的椭圆；当时，表示以焦点为极点、开口向右的抛物线；当时，表示以右焦点为极点的双曲线的右支，若允许，则方程就表示整条双曲线．

图①图②图③图④

证明：仅证双曲线情形，椭圆和抛物线同理可证．

如图⑤，设是双曲线左支上的一点，连结，过作右准线于，轴于．

在终边的延长线上，，由定义有，又，，即，从而当时，方程表示双曲线左支，因而因而在广义坐标系下方程表示整条双曲线．

图⑤

2．以圆锥曲线的焦点为极点，极轴垂直于准线建立极坐标系（如图②），三种圆锥曲线的统一极坐标方程为：②，其中为焦点到相应准线的距离．当时，表示以右焦点为极点的椭圆；当时，表示以焦点为极点、开口向左的抛物线；当时，表示以左焦点为极点的双曲线的左支，若允许，则方程就表示整条双曲线．

3．以圆锥曲线的焦点为极点，以平行于准线的直线为极轴，建立极坐标系，三种圆锥曲线的统一极坐标方程为③（如图③）或④（如图④）．

5．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则

A．1 B． C． D．2

例6．（2021年年高考全国Ⅱ卷20）

6．已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

7．如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

8．在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为

（，为常数），离心率等于0.8，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点．

⑴求椭圆的标准方程；

⑵若时，，求实数；

⑶试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论．

9．如图，椭圆的顶点为，，，，焦点为，，，．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A，B两点的直线，．是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

10．如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：．

(1)求椭圆的方程；

(2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值．

【针对训练】

11．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

12．椭圆的右焦点为