专题11 圆锥曲线第三定义与点差法 微点2 圆锥曲线中点弦问题与点差法（解析版）.docxVIP

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专题11圆锥曲线第三定义与点差法

微点2圆锥曲线中点弦问题与点差法

【微点综述】

以圆锥曲线中点弦为背景的高考题、模拟题层出不穷，常用方法是点差法．点差法在圆锥曲线中应用广泛，可以用于求弦长、中点弦直线方程、轨迹问题、定点（定值）问题、面积问题、最值及取值范围问题、存在性问题等，常与向量、圆等知识结合．

三个微点我们讨论了圆锥曲线第三定义及其推广、应用．下面我们来看第三次推广——中点弦问题与点差法．

一、圆锥曲线第三定义第三次推广

【中点弦·思维引导1】已知AB是圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？

【解析】点P是AB中点，∴（垂径定理），∴．

【中点弦·思维引导2】已知AB是椭圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？

【解析】设，，则．

点A和点B在椭圆上，则有

作差得：

∴，即．（此方法名为“点差法”，即设点十作差）

【中点弦·思维引导3】已知在椭圆上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．

【解析】设，，则．

点A和点B在椭圆上，则有

作差得，

∴，即．

【中点弦·思维引导4】已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．

【解析】设，，则．

点A和点B在双曲线上，则有

作差得，

∴，即．

【中点弦·思维引导5】已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．

【解析】设，，则，

点A和点B在双曲线上，则有

作差得，

∴，即．

【中点弦·思维引导6】已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB斜率存在时，求证：为定值．

【解析】设，，则．

点A和点B在抛物线上，则有

作差得，∴，即．

【中点弦·思维引导7】已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB不与y轴垂直时，求证：为定值．

【解析】设，，则．

点A和点B在抛物线上，则有

作差得，∴，即．

同理可证焦点在轴负半轴和轴负半轴的情形．

总结上面的思考我们可得如下结论：

【结论1】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．

证明：设，则①，②，

由点差法，两式相减得，由线段中点坐标公式，得

．

【评注】此方法称之为点差法，设点作差，设而不求．

同理可证如下结论：

【结论2】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．

【结论3】为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．

【结论4】为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．

【结论5】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．

【结论6】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．

【结论7】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．

【结论8】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．

总结可得如下表格——

二、圆锥曲线第三定义及其推广总结表

圆周角定理的推广（第三定义）

圆的垂径定理推广

椭

圆

为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．

为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．

为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．

为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．

双曲线

为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．

为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．

为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．

为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．

抛物线

无

为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．

为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．

为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．

为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．

三、应用举例

（一）求离心率（或取值范围）

1．直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(mn0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________.

2．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．

（二）求斜率、弦长

例3．（2022贵州贵阳市·高三期末）

3．过抛物线的