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试卷第=page11页,共=sectionpages33页
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专题11圆锥曲线第三定义与点差法
微点2圆锥曲线中点弦问题与点差法
【微点综述】
以圆锥曲线中点弦为背景的高考题、模拟题层出不穷,常用方法是点差法.点差法在圆锥曲线中应用广泛,可以用于求弦长、中点弦直线方程、轨迹问题、定点(定值)问题、面积问题、最值及取值范围问题、存在性问题等,常与向量、圆等知识结合.
三个微点我们讨论了圆锥曲线第三定义及其推广、应用.下面我们来看第三次推广——中点弦问题与点差法.
一、圆锥曲线第三定义第三次推广
【中点弦·思维引导1】已知AB是圆的一条弦,点P是AB中点,当AB和OP斜率存在时.思考:是否为定值?
【解析】点P是AB中点,∴(垂径定理),∴.
【中点弦·思维引导2】已知AB是椭圆的一条弦,点P是AB中点,当AB和OP斜率存在时.思考:是否为定值?
【解析】设,,则.
点A和点B在椭圆上,则有
作差得:
∴,即.(此方法名为“点差法”,即设点十作差)
【中点弦·思维引导3】已知在椭圆上,点P是AB的中点,当AB和OP斜率存在时.求证:为定值.
【解析】设,,则.
点A和点B在椭圆上,则有
作差得,
∴,即.
【中点弦·思维引导4】已知在双曲线上,点P是AB的中点,当AB和OP斜率存在时.求证:为定值.
【解析】设,,则.
点A和点B在双曲线上,则有
作差得,
∴,即.
【中点弦·思维引导5】已知在双曲线上,点P是AB的中点,当AB和OP斜率存在时.求证:为定值.
【解析】设,,则,
点A和点B在双曲线上,则有
作差得,
∴,即.
【中点弦·思维引导6】已知在抛物线上,点P是AB的中点,当AB斜率存在时,求证:为定值.
【解析】设,,则.
点A和点B在抛物线上,则有
作差得,∴,即.
【中点弦·思维引导7】已知在抛物线上,点P是AB的中点,当AB不与y轴垂直时,求证:为定值.
【解析】设,,则.
点A和点B在抛物线上,则有
作差得,∴,即.
同理可证焦点在轴负半轴和轴负半轴的情形.
总结上面的思考我们可得如下结论:
【结论1】为椭圆的不平行于对称轴的弦,为线段的中点,为原点,则,即.
证明:设,则①,②,
由点差法,两式相减得,由线段中点坐标公式,得
.
【评注】此方法称之为点差法,设点作差,设而不求.
同理可证如下结论:
【结论2】为椭圆的不平行于对称轴的弦,为线段的中点,为原点,则,即.
【结论3】为双曲线的不平行于对称轴的弦,为线段的中点,为原点,则,即.
【结论4】为双曲线的不平行于对称轴的弦,为线段的中点,为原点,则,即.
【结论5】已知直线与抛物线相交于两点,点为线段的中点,为原点,则.
【结论6】已知直线与抛物线相交于两点,点为线段的中点,为原点,则.
【结论7】已知直线与抛物线相交于两点,点为线段的中点,为原点,则.
【结论8】已知直线与抛物线相交于两点,点为线段的中点,为原点,则.
总结可得如下表格——
二、圆锥曲线第三定义及其推广总结表
圆周角定理的推广(第三定义)
圆的垂径定理推广
椭
圆
为椭圆的长轴(或短轴)两端点,是椭圆上异于的任一点,则.推广:在椭圆中,是关于原点对称的两点,是椭圆上异于的一点,若存在,则.
为椭圆的不平行于对称轴的弦,为线段的中点,为原点,则.
为椭圆的长轴(或短轴)两端点,是椭圆上异于的任一点,则.推广:在椭圆中,是关于原点对称的两点,是椭圆上异于的一点,若存在,则.
为椭圆的不平行于对称轴的弦,为线段的中点,为原点,则.
双曲线
为双曲线的实轴(或虚轴)两端点,是椭圆上异于的任一点,则.推广:在双曲线中,是关于原点对称的两点,是双曲线上异于的一点,若存在,则.
为双曲线的不平行于对称轴的弦,为线段的中点,为原点,则.
为双曲线的实轴(或虚轴)两端点,是椭圆上异于的任一点,则.推广:在双曲线中,是关于原点对称的两点,是双曲线上异于的一点,若存在,则.
为双曲线的不平行于对称轴的弦,为线段的中点,为原点,则.
抛物线
无
为抛物线的不平行于对称轴的弦,为线段的中点,为原点,则.
为抛物线的不平行于对称轴的弦,为线段的中点,为原点,则.
为抛物线的不平行于对称轴的弦,为线段的中点,为原点,则.
为抛物线的不平行于对称轴的弦,为线段的中点,为原点,则.
三、应用举例
(一)求离心率(或取值范围)
1.直线y=x+1与椭圆mx2+ny2=1(mn0)相交于A,B两点,若弦AB的中点的横坐标等于,则椭圆的离心率等于_________.
2.过点作斜率为的直线与椭圆:相交于,若是线段的中点,则椭圆的离心率为_____.
(二)求斜率、弦长
例3.(2022贵州贵阳市·高三期末)
3.过抛物线的
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