重难点18 数列中的奇偶项、分段问题（原题版）（5大题型+最新模拟）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）.docx

数列中奇偶项、分段问题

掌握数列中关于奇偶项讨论、分段型数列的通项以及求和问题的基本解法与基本思想.

通项分段型

例1(2023年新课标全国Ⅱ卷·第18题)已知为等差数列，，记，分别为数列，前n项和，，．

(1)求的通项公式；

(2)证明：当时，．

【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据，将用表示，再结合，，列方程组求出，进而求出通项公式；

（2）写出，然后根据n的奇偶性讨论求出，再分别作差比较大小.

【类题演练1】（2021·新高考1卷T17）已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.

【类题演练2】（2024年重庆第一中学月考试题）已知数列满足，

(1)记，求证：为等比数列；

(2)若，求.

【类题演练3】（23-24高二下·湖南张家界·期末）已知数列是递增数列，其前项和满足.

(1)证明：是等差数列；

(2)记，数列的前项和为，求.

通项绝对值型

通项公式含有绝对值时，往往可以分类讨论去掉绝对值，化为分段问题处理.

例2（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求.

【类题演练1】（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和．

通项含有型

若通项公式中含有，往往需要讨论n的奇偶数，进而求解.

例3（2024广东惠州质监）已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足.

(1)求和的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

【类题演练1】（2024湖南高三月考）已知数列的前n项和为，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【类题演练2】已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)令，求数列的前项和．

【类题演练3】（2024·全国专题训练）已知数列和满足，，.

(1)求与；

(2)设的前n项和为，若不等式，对一切都成立，求实数的最小值.

递推关系间隔型

当递推式为型时，往往再构造的关系，两式作差（商）转化为的关系，进而求出奇数项、偶数项的递推关系。

例4（2024全国联考信息卷））设数列的前n项和为，且．若对恒成立，则的取值范围为．

【类题演练1】已知数列满足：，当时，，

（1）求，数列的通项公式；

（2）记，求证．

通项三角函数型

当数列的通项公式含有三角函数时，我们可以先判断三角函数部分的最小正周期，然后以此为依据对n的不同取值分类讨论。

例5已知数列的前项和为，满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前100项的和.

【类题演练1】已知数列满足，.

(1)求的通项公式；

(2)若，记数列的前99项和为，求.

【类题演练2】（2024·陕西宝鸡·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前2024项和．

1．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

2．（多选）（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）在数列中，，前n项的和为Sn，则（???????）

A．的最大值为1 B．数列是等差数列

C．数列是等差数列 D．

3．（多选）（2024甘肃省临洮中学上学期第三次质量检测）已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（????）

A．

B．数列是以2为公比的等比数列

C．对任意的，

D．的最小正整数n的值为15

4．（2024上海复旦大学附中检测）数学试题）数列满足，则数列的第2023项为.

5.已知数列满足，，，则数列的前20项和为.

6．（2024河南二十校调研）已知为数列的前项和，，则；令，数列的前项和为，若存在，使得，则实数的取值范围为.

7．（2024届高三上学期一轮复习联考（四）数学试题）已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，．

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前10项和．

8.（2024·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且．

(1)证明：是等比数列，并求其通项公式；

(2)设，求数列的前100项和．

9.（2024·河南·三模）在等比数列中，，且，，成等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值．

10．（2024高三·全国·专题练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝－7，S3＝－15.求：

(1)Sn及Sn的最小值；

(2)数列{|an|}的前n项和Tn.

11（2024年广东省广州实验中学校考）已知数列满足，且的