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2024年高考数学(文科)(全国甲卷)【含解析】
使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
5.考试结束后,只将答题卡交回.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设,则()
A. B. C. D.2
2.若集合,,则()
A. B. C. D.
3.若满足约束条件,则的最小值为()
A. B. C. D.
4.甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是()
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前项和为,若,则()
A. B. C.1 D.
6.已知双曲线的两个焦点分别为,点在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()
A.4 B.3 C.2 D.
7.设函数,则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()
A. B. C. D.
8.函数在区间图象大致为()
A. B.
C. D.
9.已知,则()
A. B. C. D.
10.已知直线与圆交于两点,则的最小值为()
A.2 B.3 C.4 D.6
11.设为两个平面,为两条直线,且.下述四个命题:
①若,则或②若,则或
③若且,则④若与,所成的角相等,则
其中所有真命题编号是()
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④
12.在中,内角所对边分别为,若,,则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数在上的最大值是______.
14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为,圆台的母线长分别为,,则圆台甲与乙的体积之比为______.
15.已知且,则______.
16.曲线与在上有两个不同的交点,则的取值范围为______.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.已知等比数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
18.某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
(1)填写如下列联表:
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?
(2)已知升级改造前该工厂产品优级品率,设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果,则认为该工厂产品的优级品率提高了,根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?()
附:
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.如图,,,,,为的中点.
(1)证明:平面;
(2)求点到的距离.
20已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)当时,证明:当时,恒成立.
21.已知椭圆的右焦点为,点在上,且轴.
(1)求的方程;
(2)过点的直线交于两点,为线段的中点,直线交直线于点,证明:轴.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出的直角坐标方程;
(2)设直线l:(为参数),若与l相交于两点,若,求.
23.已知实数满足.
(1)证明:;
(2)证明:.
参考答案
一、选择题
1.【答案】A
【解析】依题意得,对于集合中元素,满足,
则可能的取值为,即,于是.
故选:A
2.【答案】D
【解析】依题意得,,故.
故选:D
3.【答案】D
【解析】实数满足,作出可行域如图:
由可得,即的几何意义为的截距的,
则该直线截距取最大值时,有最小值,此时直线过点,
联立,
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