易拉罐形状和尺寸的最优设计(3)(1).doc

易拉罐形状和尺寸的最优设计

1概述

如何在易拉罐生产中最大限度地减轻单罐质量，提高材料利用率，降低生产成本，是企业追求的重要目标。易拉罐的形状和尺寸为何值时，才能最大限度的节省材料？这是一个条件极值问题，也就是在满足易拉罐体积为355毫升的条件下，求易拉罐重量的最小值问题。由于易拉罐各部位承受的压力不同，所以不同部位的材料厚度也不同。本文就是按照下列要求给出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计：

（１）取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明。

（２）设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

（3）设易拉罐的中心纵断面如右图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

（4）利用对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。?

２问题分析

易拉罐的形状和尺寸的最优设计是一个决策问题，需要综合考虑多方面的因素，首先是在容积不变的情况下，罐体材料尽量少。由于易拉罐内侧面和上下底面所受压力的不同，所以不同位置的厚度也不同。

问题一，我们取一个355毫升的可口可乐饮料罐，要想测量各部分的尺寸尽量精确，首先要了解易拉罐的生产过程，找出各部分尺寸的变化规律，再进行实际测量。

问题二，设易拉罐是一个正圆柱体，怎样设计能使用料最少？首先我们想到如果易拉罐的各壁厚度相同时，用料与罐子的表面积成正比，只要求得表面积最小时，半径与高之比，就能将问题解决。但实际测得各面的厚度并不相同，不过制罐材料的体积仍然是可求的，体积最小时的半径与高就是最省料的尺寸。

问题三，设易拉罐是一个正圆台与正圆柱体的组合，求在满足约束条件V=355ml的前提下，以制罐用铝量最小为目标函数。

问题四，体积一定的几何形体中，球体的表面积最小。我们想到将这一性质运用到易拉罐的设计中去，但由于球体不方便运输和摆放，我们把上下底改为平面，而由于球体做成的罐子宽度较大不适合抓握，于是又想到将其拉伸，变成椭球体，就形成了类似古代的酒坛子形，我们将其称为“酒罐”。在本题中“酒罐”的厚度与实测易拉罐一样（上下底的厚度为0.0275cm,侧边的厚度0.011cm）。

问题五是根据我们建模的亲身经历，系统的分析了数学建模的一般步骤和心得体会。?

３模型假设

（1）假设易拉罐的整个罐体用料全为铝，且密度为。

（2）假设易拉罐的上底和下底的厚度相同。

（3）假设易拉罐的容积为355毫升。

（4）由于各种形状易拉罐的拉环所用材料量相同，所以我们在求制罐用料时，不计算拉环的重量。

（5）问题四中“酒罐”的厚度与实测易拉罐一样（“酒罐”的上下底的厚度为0.0275cm,侧边的厚度为0.011cm）

４模型的建立和求解

4.1问题一：355毫升的可口可乐饮料罐的有关数据测量

4.1.1易拉罐的制作过程：

易拉罐又称铝质易开盖两片罐，主要原料是铝质薄板，制作过程中需要两片铝板，成型主要有以下四道工序：冲杯、变薄拉伸、缩口/翻边、加盖。

4.1.2?易拉罐的测量：

通过易拉罐的制作过程，我们知道上下底的圆台侧面是拉伸、缩口形成的，厚度并不均匀。为了建模的方便，我们将其简化，假定其厚度均匀，并在多个位置多次测量求平均值，得到以下的测量数据：

右图(图1)为：355毫升易拉罐中心纵断面图

??????????????????????????????表1：355毫升易拉罐的实测尺寸（单位：cm）

并得到以下结论：

1、易拉罐的侧面是规则的圆柱体，而罐底和罐盖的形状不规则。

2、上下底面的厚度相同。

3、下底面是一个向内凹的拱形，可以加大下底面的抗压性。

4、上部圆台的倾角大于下部圆台的倾角，因为下部圆台是由一整块的铝制薄板冲压得到，而上部的圆台在加盖时要与盖子咬合，倾角不能太小。

4.2问题二：正圆柱体易拉罐的最优设计

4.2.1

——一个易拉罐的重量

——易拉罐圆柱侧面厚度

——易拉罐上下底面厚度

——易拉罐的体积

?——圆柱的高度

——圆柱的底面半径

4.2.2

由于容积固定，可以用变量代换将变量减少，从而求出面积最小时的半径与高的关系。我们的重点问题就是研究在易拉罐的各部分厚度不同的前提下，易拉罐的高和直径之比为何值时能使得易拉罐的重量最小。

我们以实测的易拉罐的各面厚度为依据，即==0.0110cm,?==0.0275cm。

4.2.2

定理一：当制罐材料厚度相同时，易拉罐的高度与底面直径相等时，制造时所消耗的铝皮面积最小。

在本题中，V=355ml，计算得到当r=3.8