专题3.5 指数与指数函数【原卷版】.docx

专题3.5指数与指数函数

【核心素养】

1.以指数函数为载体，考查函数的单调性、待定系数法、换元法等，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．

2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．

3.与对数函数、不等式、方程等结合，考查函数的实际应用以及函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．

知识点一

知识点一

根式和分数指数幂

1．n次方根

定义

一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*

个数

n是奇数

a＞0

x＞0

x仅有一个值，记为eq\r(n,a)

a＜0

x＜0

n是偶数

a＞0

x有两个值，且互为相反数，记为±eq\r(n,a)

a＜0

x不存在

2.根式

(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：

①(eq\r(n,a))n＝a.

②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.))

3.分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈Q.

知识点二

知识点二

指数函数的图象和性质

1.概念：函数y＝ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.

2.指数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

定义域

R

值域

(0，＋∞)

性质

过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

在(－∞，＋∞)上是增函数

在(－∞，＋∞)上是减函数

常考题型剖析

常考题型剖析

题型一：根式、指数幂的化简与求值

【典例分析】

例1-1.（2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（）

A． B． C． D．

例1-2.（2023·全国·高三专题练习）计算：①＝________.

②＝________.

【规律方法】

1.化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．

2.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．

【变式训练】

变式1-1.计算：×0＋×－＝________.

变式1-2.（2023·全国·高三专题练习）计算化简：

（1）＝________；

（2）＝________.

题型二：根式、指数幂的条件求值

例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则下列结论正确的是（????）

A． B． C． D．

例2-2.已知，求下列各式的值.

（1）；（2）；（3）

【规律方法】

根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：

(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；

(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；

（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x12+x

【变式训练】

变式2-1.（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（????）

A． B．

C． D．

变式2-2.设，求的值．

题型三：指数函数的解析式、求值

【典例分析】

例3-1．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若函数为偶函数，且当时，，则________.

例3-2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，且，，则的解析式为____________．

【方法技巧】

1.确定函数的解析式，常常利用“待定系数法”.

2.求指数函数相关函数值，可以先求解析式，再求值，也可以利用函数的其它性质，如函数的奇偶性，如例3-2.

【变式训练】

变式3-1.（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（???）

A． B． C． D．

变式3-2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．求函数的解析式.

题型四：指数函数相关定义域、值域问题

【典例分析】

例4-1.【多选题】（2023·全国·