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专练03导数应用中求参数(范围)的5大题型
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导数几何意义中求参数(范围)
1.(2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习)若过点可作两条直线与的图象相切,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】设切点为,写出切线方程代点得,再转化为零点问题求解.
【详解】由题得,设切点为,
则切线方程为,
代点得,
所以.
当时,显然不成立;
当时,,设.
当时,,单调递减,当时,,单调递增.
所以.
又当时,,当时,.
所以当即时,有两解,即过点可作两条直线与的图象相切.
故选:B
2.(2023·河北沧州·校考模拟预测)已知直线与曲线和曲线均相切,则实数的解的个数为(????)
A.0 B.1 C.2 D.无数
【答案】C
【分析】由题意可求得直线与曲线和曲线分别切于点,,则,化简后得,然后将问题转化为方程解的个数,构造函数,利用导数和零点存在性定理可求得其零点的个数,从而可得答案.
【详解】根据题意可知,直线与曲线和曲线都相切,
所以对于曲线,则,所以,
所以切点,
对于曲线,则,所以,
切点,易知A,B不重合,
因为公切线过两点,所以,
进而可得,
令,则,
令,则
所以在单调递增,
因为,
所以存在使得,即,
所以当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,,
故.
又因为,
所以,
当时,,
因为,
所以在内存在,使得,
当时,,
因为,,
所以在内存在,使得,
综上所述,存在两条斜率分别为,的直线与曲线和曲线都相切,
故选:C.
【点睛】关键点点睛:此题考查导数的综合应用,考查导数几何意义,考查利用导数解决函数零点问题,解题的关键是求出两切点的坐标后,将问题转化为方程解的个数问题,然后构造函数,利用导数和零点存在性定理解决,考查数学转化思想和计算能力,属于难题.
3.(2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测)已知函数,其中,若曲线在处的切线斜率为1,则的最小值为______.
【答案】/
【分析】根据导数的几何意义可得,再结合基本不等式运算求解.
【详解】因为的定义域为,且,
由题意可得:,
又因为,当且仅当时,等号成立,
所以的最小值为.
故答案为:.
4.(2023·上海·统考模拟预测)若曲线有两条过的切线,则的范围是____________.
【答案】
【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点,然后利用导数研究单调性,画出大致图象,即可得答案.
【详解】设切线切点为,,又,所以切线斜率为
因为,所以切线方程为:.
又切线过,则,即
则由题可知函数图象与直线有两个交点,
由得,由得
所以在上单调递增,在上单调递减.
又,又,,,.
据此可得大致图象如下.
??
则由图可得,当时,曲线有两条过的切线.
故答案为:.
5.(2023·山东烟台·统考三模)若曲线与曲线有两条公切线,则的值为________.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义,分别写出两曲线的切线方程,让两切线方程的系数相等,得到方程组,消去一个变量后,问题转化为方程的根的个数问题,构造函数,利用导数研究其性质,作出图象,数形结合求解即可.
【详解】令,,则,,
设,则曲线在处切线为,
设,则曲线在处切线为,
由题意,消去得,
由题意,方程有两个不同的实数根,
令,则,
当时,单调递增;
当时,单调递减;
当时,单调递增,
故当时,取极大值;当时,取极小值,
又当时,根据以上信息作出的大致图象,
??
由图可知当,即时,直线与的图象有两个交点,从而方程有两个不同的实数根,
所以,曲线与曲线有两条公切线时,的值为.
故答案为:.
【点评】
应用导数的几何意义求参数问题中,根据参数所处的位置,主要有三类,一是参数位于切点坐标,二是参数在切线方程中,三是参数在曲线方程中;从解法上看,主要是利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等,得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.应特别注意的是:(1)注意曲线上横坐标的取值范围;(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.
热点二
热点二
单调性问题中求参数问题
6.(2023春·陕西西安·高二统考期末)已知函数在区间上存在单调减区间,则实数m的取值范围为(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】求出,由题意在上有解,再转化为求新函数的最小值.
【详解】由已知在上有解,
即在上有解,
设,则在上恒成立,因此在上是增函数,
,
所以,
故选:D.
7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,对任意的,,且,都有成立,则实数a的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】令,根据题意可知,函数在上单调递减,即在上恒成立,分离参数得在
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