专练03 导数应用中求参数（范围）5种题型【解析版】.docx

专练03导数应用中求参数（范围）的5大题型

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导数几何意义中求参数（范围）

1.（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）若过点可作两条直线与的图象相切，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设切点为，写出切线方程代点得，再转化为零点问题求解.

【详解】由题得，设切点为，

则切线方程为，

代点得，

所以.

当时，显然不成立；

当时，，设.

当时，，单调递减，当时，，单调递增.

所以.

又当时，，当时，.

所以当即时，有两解，即过点可作两条直线与的图象相切.

故选：B

2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线与曲线和曲线均相切，则实数的解的个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．无数

【答案】C

【分析】由题意可求得直线与曲线和曲线分别切于点，，则，化简后得，然后将问题转化为方程解的个数，构造函数，利用导数和零点存在性定理可求得其零点的个数，从而可得答案.

【详解】根据题意可知，直线与曲线和曲线都相切，

所以对于曲线，则，所以，

所以切点，

对于曲线，则，所以，

切点，易知A,B不重合，

因为公切线过两点，所以，

进而可得，

令，则，

令，则

所以在单调递增，

因为，

所以存在使得，即，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，，

故.

又因为，

所以，

当时，，

因为，

所以在内存在，使得，

当时，，

因为，，

所以在内存在，使得，

综上所述，存在两条斜率分别为，的直线与曲线和曲线都相切，

故选：C.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是求出两切点的坐标后，将问题转化为方程解的个数问题，然后构造函数，利用导数和零点存在性定理解决，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.

3．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）已知函数，其中，若曲线在处的切线斜率为1，则的最小值为______．

【答案】/

【分析】根据导数的几何意义可得，再结合基本不等式运算求解.

【详解】因为的定义域为，且，

由题意可得：，

又因为，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

4．（2023·上海·统考模拟预测）若曲线有两条过的切线，则的范围是____________．

【答案】

【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点，然后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案．

【详解】设切线切点为,，又，所以切线斜率为

因为，所以切线方程为：．

又切线过，则，即

则由题可知函数图象与直线有两个交点，

由得，由得

所以在上单调递增，在上单调递减．

又，又，，，．

据此可得大致图象如下．

??

则由图可得，当时，曲线有两条过的切线．

故答案为：.

5．（2023·山东烟台·统考三模）若曲线与曲线有两条公切线，则的值为________．

【答案】

【分析】利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可．

【详解】令，，则，，

设，则曲线在处切线为，

设，则曲线在处切线为，

由题意，消去得，

由题意，方程有两个不同的实数根，

令，则，

当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增，

故当时，取极大值；当时，取极小值，

又当时，根据以上信息作出的大致图象，

??

由图可知当，即时，直线与的图象有两个交点，从而方程有两个不同的实数根，

所以，曲线与曲线有两条公切线时，的值为．

故答案为：．

【点评】

应用导数的几何意义求参数问题中，根据参数所处的位置，主要有三类，一是参数位于切点坐标，二是参数在切线方程中，三是参数在曲线方程中；从解法上看，主要是利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等，得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．应特别注意的是：(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．

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单调性问题中求参数问题

6．（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知函数在区间上存在单调减区间，则实数m的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出，由题意在上有解，再转化为求新函数的最小值．

【详解】由已知在上有解，

即在上有解，

设，则在上恒成立，因此在上是增函数，

，

所以，

故选：D．

7.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，对任意的，，且，都有成立，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令，根据题意可知，函数在上单调递减，即在上恒成立，分离参数得在