新高考数学二轮复习解答题培优练习专题01 空间几何体的外接球与内切球问题(典型题型归类训练)(解析版）.doc

专题01空间几何体的外接球与内切球问题

(典型题型归类训练)

目录

TOC\o1-2\h\u一、必备秘籍 1

二、典型题型 3

题型一：内切球等体积法 3

题型二：内切球独立截面法 8

题型三：外接球公式法 12

题型四：外接球补型法 13

题型五：外接球单面定球心法 16

题型六：外接球双面定球心法 20

三、专项训练 24

一、必备秘籍

1．球与多面体的接、切

定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。

定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。

类型一球的内切问题（等体积法）

例如：在四棱锥SKIPIF10中，内切球为球SKIPIF10，求球半径SKIPIF10.方法如下：

SKIPIF10

即：SKIPIF10，可求出SKIPIF10.

类型二球的外接问题

1、公式法

正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点

2、补形法（补长方体或正方体）

①墙角模型（三条线两个垂直）

题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）

②对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10）

3、单面定球心法（定+算）

步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥SKIPIF10中，选中底面SKIPIF10，确定其外接圆圆心SKIPIF10（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心SKIPIF10）；

②过外心SKIPIF10做（找）底面SKIPIF10的垂线，如图中SKIPIF10面SKIPIF10,则球心一定在直线（注意不一定在线段SKIPIF10上）SKIPIF10上；

③计算求半径SKIPIF10:在直线SKIPIF10上任取一点SKIPIF10如图：则SKIPIF10，利用公式SKIPIF10可计算出球半径SKIPIF10.

4、双面定球心法（两次单面定球心）

如图：在三棱锥SKIPIF10中：

①选定底面SKIPIF10，定SKIPIF10外接圆圆心SKIPIF10

②选定面SKIPIF10，定SKIPIF10外接圆圆心SKIPIF10

③分别过SKIPIF10做面SKIPIF10的垂线，和SKIPIF10做面SKIPIF10的垂线，两垂线交点即为外接球球心SKIPIF10.

二、典型题型

题型一：内切球等体积法

1．（22·23·全国·专题练习）正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）

A．1：3 B．1：SKIPIF10 C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【答案】D

【详解】三棱锥扩展为长方体（本题实质上是正方体），它的对角线的长度，就是球的直径，

设侧棱长为a，则它的对角线的长度为SKIPIF10a，外接球的半径为SKIPIF10，

再设正三棱锥内切球的半径为r，正三棱锥底面边长为SKIPIF10，设SKIPIF10是内切球球心，则SKIPIF10到棱锥四个面的距离都等于SKIPIF10，

根据三棱锥的体积的两种求法，得SKIPIF10