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专项16轴对称之将军饮马模型
基本图模
1.
已知:如图,定点A、B分布在定直线l两侧;
要求:在直线l上找一点P,使PA+PB的值最小
解:连接AB交直线l于点P,点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由:在l上任取异于点P的一点P´,连接AP´、BP´,
在△ABP’中,AP´+BP´AB,即AP´+BP´AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时,PA+PB最小.
2.
已知:如图,定点A和定点B在定直线l的同侧
要求:在直线l上找一点P,使得PA+PB值最小
(或△ABP的周长最小)
解:作点A关于直线l的对称点A´,连接A´B交l于P,
点P即为所求;
理由:根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线,
由中垂线的性质得:PA=PA´,要使PA+PB最小,则
需PA´+PB值最小,从而转化为模型1.
方法总结:
1.两点之间,线段最短;2.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等;4.垂线段最短.
【典例1】(2022春•漳州期末)如图,要在街道l设立一个牛奶站O,向居民A,B提供
牛奶,下列设计图形中使OA+OB值最小的是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【解答】解:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交直线l于点O,则点O即为
所求点.
故选:D.
【变式1】(2021春•成都期末)如图,点A,B在直线l的同侧,在直线l上找一点P,使
PA+PB最小,则下列图形正确的是()
A.B.
C.D.
【答案】B
【解答】解:∵点A,B在直线l的同侧,
∴作A点关于l的对称点A,连接AB与l的交点为P,
由对称性可知AP=AP,
∴PA+PB=PA′+PB=A′B为最小,
故选:B.
【典例2】(2022春•埇桥区校级期末)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=
8,AB=10,BD平分∠ABC,如果点M,N分别为BD,BC上的动点,那么CM+MN的
最小值是()
A.4B.4.8C.5D.6
【答案】B
【解答】解:如图所示:
过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M,
过点M作MN⊥BC于点N,
∵BD平分∠ABC,
∴ME=MN,
∴CM+MN=CM+ME=CE.
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,CE⊥AB,
∴S△ABC=•A
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