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试卷第=page11页,共=sectionpages33页
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专题14圆锥曲线切线方程
微点1圆锥曲线切线方程的求法
【微点综述】
圆锥曲线的切线方程问题侧重于考查圆锥曲线的性质、标准方程以及直线方程的几种形式.此类问题的难度一般不大,对同学们的抽象思维和分析能力的要求较高.下面主要探讨一下求圆锥曲线的切线方程的方法及常用结论.
一、圆锥曲线切线方程方法
1.向量法
在求圆的切线方程时,可巧妙利用圆心和切点的连线垂直于切线的性质来建立关系式.在运用向量法解题时,可先给各条线段赋予方向,求得各条直线的方向向量,然后根据“互相垂直的两个向量的数量积为”的性质建立圆心、切点、切线之间的关系式,从而求得切线的方向向量以及直线的方程.
例1
1.已知圆的方程是,求经过圆上一点的圆的切线的方程.
2.变换法
设椭圆方程为,我们作变换:则可把椭圆化为单位圆:,从而可将求椭圆的切线方程问题转化为求圆的切线问题.
例2
2.求过椭圆上一点的切线方程.
3.判别式法
可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程,这种方法也是中学阶段的常用方法之一.
思维导图:设切线方程联立切线与椭圆的方程消去(或)得到关于(或)的一元二次方程求切线斜率写出切线方程.
注意:过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切.
例3
3.求经过点的双曲线:的切线的方程.
4.导数法
我们知道,导数的几何意义是:该函数曲线在某一点上的切线的斜率,那么在求圆锥曲线的切线方程时,可对曲线的方程进行求导,便可得到曲线在切点处切线的斜率或切点的坐标,根据直线的点斜式方程即可求得切线的方程.
例4
4.设为曲线上两点,的横坐标之和为.设为曲线上一点,在处的切线与直线平行,且,求直线的方程.
例5
5.证明:过椭圆C:(mn0)上一点Q(x0,y0)的切线方程为.
5.几何性质法
通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究,我们知道:
(1)若焦点为的椭圆或双曲线上有一点,则的平分线一定与圆锥曲线相切;
(2)若焦点为的抛物线上有一点,过作准线的垂线,垂足为,则的中点与的连线必与抛物线相切.
据此,我们也可以利用圆锥曲线的几何性质作出其切线,然后再求出切线的方程.
例6
6.求抛物线上经过点的切线的方程.
例7
7.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点.
例8(2022乙卷理科)
8.已知抛物线C:的焦点为F,且F与圆M:上点的距离的最小值为4.
(1)求p;
(2)若点P在M上,PA,PB为C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
【强化训练】
(2022桃城区校级模拟)
9.已知圆,直线,P为直线l上的动点,过点P作圆C的切线,切点分别为A,B,则直线过定点(????)
A. B. C. D.
(2022聊城一模)
10.已知圆,直线,P为直线l上的动点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A,B.则直线AB过定点(????)
A. B. C. D.
(2022迎泽区校级月考)
11.已知圆.动点在直线上,过点引圆的切线,切点分别为,则直线过定点______.
12.过圆外一点P(4,2)向圆引切线.
(1)求过点P的圆的切线方程;
(2)若过点P的直线截圆所得的弦长为,求该直线的方程;
(3)若过P点引圆的两条切线,切点分别为、,求过切点、的直线方程.
(2021春·黑龙江期中)
13.已知点在椭圆上.若点在圆上,则圆过点的切线方程为.由此类比得椭圆在点处的切线方程为(????)
A. B. C. D.
(2020.新课标Ⅰ)
14.已知⊙M:,直线:,为上的动点,过点作⊙M的切线,切点为,当最小时,直线的方程为(????)
A. B. C. D.
(2022宿州期末)
15.定义:若点在椭圆上,则以为切点的切线方程为:.已知椭圆,点为直线上一个动点,过点作椭圆的两条切线,,切点分别为,,则直线恒过定点()
A. B. C. D.
(2022金安区校级期末)
16.已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为,则椭圆在其上一点处的切线方程为,试运用该性质解决以下问题;椭圆,点B为在第一象限中的任意一点,过B作的切线l,l分别与x轴和y轴的正半轴交于两点,则面积的最小值为(????)
A.1 B. C. D.2
(2022吉安期末理)
17.过圆上一定点的圆的切线方程为.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆上的点作椭圆的切线.则过点且与直线垂直的直线方程为(????)
A. B.
C. D.
(2022大连期末)
18.已知为圆上一点,则过上点的切线方程为________,若为椭圆上一点,则过上点的切线方程为_____________.
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