专题14 圆锥曲线切线方程 微点1 圆锥曲线切线方程的求法（解析版）.docxVIP

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专题14圆锥曲线切线方程

微点1圆锥曲线切线方程的求法

【微点综述】

圆锥曲线的切线方程问题侧重于考查圆锥曲线的性质、标准方程以及直线方程的几种形式．此类问题的难度一般不大，对同学们的抽象思维和分析能力的要求较高．下面主要探讨一下求圆锥曲线的切线方程的方法及常用结论．

一、圆锥曲线切线方程方法

1．向量法

在求圆的切线方程时，可巧妙利用圆心和切点的连线垂直于切线的性质来建立关系式．在运用向量法解题时，可先给各条线段赋予方向，求得各条直线的方向向量，然后根据“互相垂直的两个向量的数量积为”的性质建立圆心、切点、切线之间的关系式，从而求得切线的方向向量以及直线的方程．

例1

1．已知圆的方程是，求经过圆上一点的圆的切线的方程．

2．变换法

设椭圆方程为，我们作变换：则可把椭圆化为单位圆：，从而可将求椭圆的切线方程问题转化为求圆的切线问题．

例2

2．求过椭圆上一点的切线方程．

3．判别式法

可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一．

思维导图：设切线方程联立切线与椭圆的方程消去（或）得到关于（或）的一元二次方程求切线斜率写出切线方程．

注意：过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切．

例3

3．求经过点的双曲线：的切线的方程．

4．导数法

我们知道，导数的几何意义是：该函数曲线在某一点上的切线的斜率，那么在求圆锥曲线的切线方程时，可对曲线的方程进行求导，便可得到曲线在切点处切线的斜率或切点的坐标，根据直线的点斜式方程即可求得切线的方程．

例4

4．设为曲线上两点，的横坐标之和为．设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程．

例5

5．证明：过椭圆C：(mn0)上一点Q(x0，y0)的切线方程为．

5．几何性质法

通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：

（1）若焦点为的椭圆或双曲线上有一点，则的平分线一定与圆锥曲线相切；

（2）若焦点为的抛物线上有一点，过作准线的垂线，垂足为，则的中点与的连线必与抛物线相切．

据此，我们也可以利用圆锥曲线的几何性质作出其切线，然后再求出切线的方程．

例6

6．求抛物线上经过点的切线的方程．

例7

7．过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．

例8（2022乙卷理科）

8．已知抛物线C：的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4．

(1)求p；

(2)若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．

【强化训练】

（2022桃城区校级模拟）

9．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（????）

A． B． C． D．

（2022聊城一模）

10．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB过定点（????）

A． B． C． D．

（2022迎泽区校级月考）

11．已知圆.动点在直线上，过点引圆的切线，切点分别为，则直线过定点______.

12．过圆外一点P（4，2）向圆引切线．

(1)求过点P的圆的切线方程；

(2)若过点P的直线截圆所得的弦长为，求该直线的方程；

(3)若过P点引圆的两条切线，切点分别为、，求过切点、的直线方程．

（2021春·黑龙江期中）

13．已知点在椭圆上.若点在圆上，则圆过点的切线方程为.由此类比得椭圆在点处的切线方程为（????）

A． B． C． D．

（2020．新课标Ⅰ）

14．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（????）

A． B． C． D．

（2022宿州期末）

15．定义：若点在椭圆上，则以为切点的切线方程为：.已知椭圆，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点（）

A． B． C． D．

（2022金安区校级期末）

16．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题；椭圆，点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（????）

A．1 B． C． D．2

（2022吉安期末理）

17．过圆上一定点的圆的切线方程为.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆上的点作椭圆的切线.则过点且与直线垂直的直线方程为（????）

A． B．

C． D．

（2022大连期末）

18．已知为圆上一点，则过上点的切线方程为________，若为椭圆上一点，则过上点的切线方程为_____________.