专题12 定比点差法及其应用 微点4 调和点列中的定比点差法（学生版）.docxVIP

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专题12定比点差法及其应用

微点4调和点列中的定比点差法

【微点综述】

定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势，本文介绍定比点差法在调和点列中的应用．

一、调和定比分点

若且，则称调和分割，根据定义，那么也调和分割（其中在线段内，称为内分点，在线段外，称为外分点）．

二、调和定比分点的性质

【性质1】在椭圆或双曲线中，设为椭圆或双曲线上的两点．若存在调和分割，即满足，，则一定有．

证明：由已知点在椭圆或双曲线上，设．首先，则由定比分点坐标公式可得

又，则由定比分点坐标公式可得

当时，将代入曲线，有，

②得到③

③和①作差整理可得：

，将前式代入整理得．

【性质2】在抛物线中，设为抛物线上的两点．若存在调和分割，即满足，，则一定有．

证明：设，由，得，

由，得，

又，①—②得：，

即，

．

定比点差的原理谜题解开，就是两个互相调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程．

【性质3】定比点差转换定理：

在椭圆、双曲线或抛物线中，设为椭圆或双曲线上的两点．若存在两点，满足，，则一定有（重点中的重点！！！）

证明：

三、定比点差法在调和点列中的应用

例1．已知椭圆，过点的动直线交椭圆于两点，在线段上取点满足，求证：点在某条定直线上．

【解析】解法一：设，即，，设，，，由于，，

又，两式相减得③

①②式代入③式，④

又由于，，

⑤⑥式代入④式，，即点在定直线上．

解法二：设，即，，设，，，则，

于是有由点在椭圆上，则于是有，即，故点在定直线上．

【评注】共线的四点成两组等比例线段，于是设，自然想到定比点差法，非常巧妙地得到结论，体现出定比点差法比其他方法的优越性．

例2．已知、分别为椭圆：的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点和圆：，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段上取一点，满足：，，（且）．求证：点总在某定直线上．

【答案】（1）；（2）析】（1）设，由已知得，可求得点M的坐标，代入椭圆的方程中可求得，可得椭圆的方程；（2）由向量的坐标运算和向量相等的条件，以及点在圆上可得出点Q所在的直线．

【解析】（1）设，因为点M在抛物线上，且，所以，解得，

又点M在抛物线上，所以，且，即，解得，

所以椭圆的方程；

（2）设，，因为，所以，即有，

又，所以，即有，

所以得：，

又点A、B在圆上，所以，又，所以，

故点Q总在直线上．

【评注】本题考查椭圆和抛物线的简单几何性质，以及直线与圆的交点问题，属于较难题．

例3．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为．

（1）求，的值；

（2）当过点的动直线与椭圆交于不同的点，时，在线段上取点，使得，问点是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由．

【答案】（1），；（2）直线恒在定直线上析】（1）利用椭圆关系、离心率和三角形面积可构造方程求得结果；

（2）根据四点的位置关系可知，由此可得中，将直线方程代入椭圆方程，得到韦达定理形式，整理可求得，代入直线方程可知恒成立，由此可确定结论．

【解析】（1）以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大时，三角形另一顶点为椭圆短轴的端点，，解得：，．

（2）设，，，，，

，即，即，整理可得：，

设直线：，联立直线与椭圆：，整理得：，

，，

在线段上，则，点恒在定直线上．

【评注】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理表示出所求量，通过化简整理确定所求的定直线．

例4．已知双曲线的中心为原点，左?右焦点分别为?，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足．

（1）求双曲线的方程；

（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；

（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点?，在线段上取异于点?的点，满足，证明点恒在一条定直线上．

【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）证明见解析析】（1）由离心率公式和点满足双曲线的方程，结合双曲线的，，的关系，即可求得，，进而得到双曲线的方程；

（2）设出，，代入双曲线的方程，再由，再由直线的斜率公式，得到直线与直线的斜率之积，化简整理，运用代入，即可得到定值；

（3）设点，且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，设，代入可得求出坐标之间的关系，化简可得点恒在定直线上．