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专题12定比点差法及其应用
微点4调和点列中的定比点差法
【微点综述】
定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势,本文介绍定比点差法在调和点列中的应用.
一、调和定比分点
若且,则称调和分割,根据定义,那么也调和分割(其中在线段内,称为内分点,在线段外,称为外分点).
二、调和定比分点的性质
【性质1】在椭圆或双曲线中,设为椭圆或双曲线上的两点.若存在调和分割,即满足,,则一定有.
证明:由已知点在椭圆或双曲线上,设.首先,则由定比分点坐标公式可得
又,则由定比分点坐标公式可得
当时,将代入曲线,有,
②得到③
③和①作差整理可得:
,将前式代入整理得.
【性质2】在抛物线中,设为抛物线上的两点.若存在调和分割,即满足,,则一定有.
证明:设,由,得,
由,得,
又,①—②得:,
即,
.
定比点差的原理谜题解开,就是两个互相调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程.
【性质3】定比点差转换定理:
在椭圆、双曲线或抛物线中,设为椭圆或双曲线上的两点.若存在两点,满足,,则一定有(重点中的重点!!!)
证明:
三、定比点差法在调和点列中的应用
例1.已知椭圆,过点的动直线交椭圆于两点,在线段上取点满足,求证:点在某条定直线上.
【解析】解法一:设,即,,设,,,由于,,
又,两式相减得③
①②式代入③式,④
又由于,,
⑤⑥式代入④式,,即点在定直线上.
解法二:设,即,,设,,,则,
于是有由点在椭圆上,则于是有,即,故点在定直线上.
【评注】共线的四点成两组等比例线段,于是设,自然想到定比点差法,非常巧妙地得到结论,体现出定比点差法比其他方法的优越性.
例2.已知、分别为椭圆:的上、下焦点,其中也是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点和圆:,过点的动直线与圆相交于不同的两点,在线段上取一点,满足:,,(且).求证:点总在某定直线上.
【答案】(1);(2)析】(1)设,由已知得,可求得点M的坐标,代入椭圆的方程中可求得,可得椭圆的方程;(2)由向量的坐标运算和向量相等的条件,以及点在圆上可得出点Q所在的直线.
【解析】(1)设,因为点M在抛物线上,且,所以,解得,
又点M在抛物线上,所以,且,即,解得,
所以椭圆的方程;
(2)设,,因为,所以,即有,
又,所以,即有,
所以得:,
又点A、B在圆上,所以,又,所以,
故点Q总在直线上.
【评注】本题考查椭圆和抛物线的简单几何性质,以及直线与圆的交点问题,属于较难题.
例3.在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率为,以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为.
(1)求,的值;
(2)当过点的动直线与椭圆交于不同的点,时,在线段上取点,使得,问点是否总在某条定直线上?若是,求出该直线方程,若不是,说明理由.
【答案】(1),;(2)直线恒在定直线上析】(1)利用椭圆关系、离心率和三角形面积可构造方程求得结果;
(2)根据四点的位置关系可知,由此可得中,将直线方程代入椭圆方程,得到韦达定理形式,整理可求得,代入直线方程可知恒成立,由此可确定结论.
【解析】(1)以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大时,三角形另一顶点为椭圆短轴的端点,,解得:,.
(2)设,,,,,
,即,即,整理可得:,
设直线:,联立直线与椭圆:,整理得:,
,,
在线段上,则,点恒在定直线上.
【评注】思路点睛:本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解,求解此类问题的基本思路如下:
①假设直线方程,与椭圆方程联立,整理为关于或的一元二次方程的形式;
②利用求得变量的取值范围,得到韦达定理的形式;
③利用韦达定理表示出所求量,通过化简整理确定所求的定直线.
例4.已知双曲线的中心为原点,左?右焦点分别为?,离心率为,且过点,又点是直线上任意一点,点在双曲线上,且满足.
(1)求双曲线的方程;
(2)证明:直线与直线的斜率之积是定值;
(3)若点的纵坐标为,过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点?,在线段上取异于点?的点,满足,证明点恒在一条定直线上.
【答案】(1)1;(2)证明见解析;(3)证明见解析析】(1)由离心率公式和点满足双曲线的方程,结合双曲线的,,的关系,即可求得,,进而得到双曲线的方程;
(2)设出,,代入双曲线的方程,再由,再由直线的斜率公式,得到直线与直线的斜率之积,化简整理,运用代入,即可得到定值;
(3)设点,且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点,,设,代入可得求出坐标之间的关系,化简可得点恒在定直线上.
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