专题12 定比点差法及其应用 微点2 定比点差法综合应用（一）——解决定点、定值、定直线问题（学生版）.docxVIP

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专题12定比点差法及其应用

微点2定比点差法综合应用（一）——解决定点、定值、定直线问题

【微点综述】

本文在上一节的基础上，进一步介绍定比点差法的综合应用——解决定点问题、定值问题以及定直线问题．

一、应用定比点差法证明定点问题

例1．已知过点的直线与椭圆交于两点，为点关于轴的对称点，求证：直线过定点．

【解析】设，直线与轴交于点，由题知，由向量共线定理，设，得，于是有，则于是有，即，得，故直线过定点．

【评注】由对称性，易知直线所过定点在轴上，设所求定点为，注意到题中有两组三点共线，故设，接着使用定比点差法解题．

例2．已知椭圆过点，其长轴长?焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线与轴的正半轴和轴分别交于点，与椭圆相交于两点，各点互不重合，且满足．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线的方程为，求的值；

（3）若，试证明直线恒过定点，并求此定点的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，．

【解析】（1）由题意，得到和，结合，求得的值，即可求得椭圆的标准方程；

（2）由直线的方程为，根据，求得，得到，联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解；

（3）设直线的方程为，由，得到和，联立方程组，结合根与系数的关系和，求得，得到直线的方程，即可求解．

【解析】（1）由题意，因为椭圆过点，可得，

设焦距为，又由长轴长?焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，

可得，即

又因为，解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）由直线的方程为，可得而，

设，因为，

可得，

从而，

于是，所以，

由，整理得，可得，

所以．

（3）显然直线的斜率存在且不为零，

设直线的方程为，，可得，

由，可得，

所以，从而，同理，

又，∴——①，

联立，得，

则——②，

且——③

③代入①得，∴，（满足②）

故直线的方程为，所以直线恒过定点．

【评注】解答圆锥曲线的定点问题的策略：

（1）参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到与过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；

（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．

例3．已知椭圆E：，斜率为1的直线l与椭圆交于A，B两点，点，直线AM与椭圆E交于点C，直线BM与椭圆E交于点D，求证：直线CD恒过定点．

【解析】设，，，，，，

由于，，则

又，，

两式相减得③，

①②式代入③式，整理得，

由，解得，同理可得，

设：，

，

则，，即：，过定点．

例4．设椭圆C：的右焦点为F过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：．

【解析】（1）由已知得，l的方程为．由已知可得点A的坐标为或．所以AM的方程为或．

（2）当l与x轴重合时，．当l与x轴垂直时，，当直线AB斜率存在且不为0时，设，，点B关于x轴对称的点根据几何性质得：令ON为的角平分线，AB与x轴交点为，下面通过证明N与M重合来证明，

根据角平分线定理有：．

设由定比分点坐标公式得：；，

同理由，由定比分点坐标公式得：；，

①-②得：，

整理得：，

即N与M重合，所以．综上，．

二、应用定比点差法求解定值问题

例5．已知过点的直线与双曲线交于两点，与轴交于点，若，求证：为定值．

【解析】设，由，得，由点在双曲线上，则即两式相减得．

【评注】利用得到两点的坐标，代入双曲线方程，变形作差得到，是定比点差的变形应用．另外，该题可以拓展到一般性，有如下结论：

【结论1】已知过点的直线与双曲线交于两点，与轴交于点，若，则．

由于圆、椭圆、双曲线、抛物线都是二次曲线，很多时候它们之间存在类似的性质，于是由类比联想，推广得如下结论：

【结论2】已知过点的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，若，则．

【结论3】已知过点的直线与圆交于两点，与轴交于点，若，则．

结论1，2，3的证明，可参照例题．

【结论4】已知抛物线上两点，若直线分别与轴交于点，且，则．

【解析】设，由，得，由点在抛物线上，则即两式相减得．

【结论5】已知抛物线上两点，若直线分别与轴交于点，且，则．

结论5的证明，参照例5．

例6．（2022河北邯郸·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若，的周长为8．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2），，试分析是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．

【答案】（1）；（2）