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专题12定比点差法及其应用
微点2定比点差法综合应用(一)——解决定点、定值、定直线问题
【微点综述】
本文在上一节的基础上,进一步介绍定比点差法的综合应用——解决定点问题、定值问题以及定直线问题.
一、应用定比点差法证明定点问题
例1.已知过点的直线与椭圆交于两点,为点关于轴的对称点,求证:直线过定点.
【解析】设,直线与轴交于点,由题知,由向量共线定理,设,得,于是有,则于是有,即,得,故直线过定点.
【评注】由对称性,易知直线所过定点在轴上,设所求定点为,注意到题中有两组三点共线,故设,接着使用定比点差法解题.
例2.已知椭圆过点,其长轴长?焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列,直线与轴的正半轴和轴分别交于点,与椭圆相交于两点,各点互不重合,且满足.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线的方程为,求的值;
(3)若,试证明直线恒过定点,并求此定点的坐标.
【答案】(1);(2);(3)证明见解析,.
【解析】(1)由题意,得到和,结合,求得的值,即可求得椭圆的标准方程;
(2)由直线的方程为,根据,求得,得到,联立方程组,结合根与系数的关系,即可求解;
(3)设直线的方程为,由,得到和,联立方程组,结合根与系数的关系和,求得,得到直线的方程,即可求解.
【解析】(1)由题意,因为椭圆过点,可得,
设焦距为,又由长轴长?焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列,
可得,即
又因为,解得,
所以椭圆的标准方程为.
(2)由直线的方程为,可得而,
设,因为,
可得,
从而,
于是,所以,
由,整理得,可得,
所以.
(3)显然直线的斜率存在且不为零,
设直线的方程为,,可得,
由,可得,
所以,从而,同理,
又,∴——①,
联立,得,
则——②,
且——③
③代入①得,∴,(满足②)
故直线的方程为,所以直线恒过定点.
【评注】解答圆锥曲线的定点问题的策略:
(1)参数法:参数解决定点问题的思路:①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中核心变量(通常为变量);②利用条件找到与过定点的曲线之间的关系,得到关于与的等式,再研究变化量与参数何时没有关系,得出定点的坐标;
(2)由特殊到一般法:由特殊到一般法求解定点问题时,常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
例3.已知椭圆E:,斜率为1的直线l与椭圆交于A,B两点,点,直线AM与椭圆E交于点C,直线BM与椭圆E交于点D,求证:直线CD恒过定点.
【解析】设,,,,,,
由于,,则
又,,
两式相减得③,
①②式代入③式,整理得,
由,解得,同理可得,
设:,
,
则,,即:,过定点.
例4.设椭圆C:的右焦点为F过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为.
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:.
【解析】(1)由已知得,l的方程为.由已知可得点A的坐标为或.所以AM的方程为或.
(2)当l与x轴重合时,.当l与x轴垂直时,,当直线AB斜率存在且不为0时,设,,点B关于x轴对称的点根据几何性质得:令ON为的角平分线,AB与x轴交点为,下面通过证明N与M重合来证明,
根据角平分线定理有:.
设由定比分点坐标公式得:;,
同理由,由定比分点坐标公式得:;,
①-②得:,
整理得:,
即N与M重合,所以.综上,.
二、应用定比点差法求解定值问题
例5.已知过点的直线与双曲线交于两点,与轴交于点,若,求证:为定值.
【解析】设,由,得,由点在双曲线上,则即两式相减得.
【评注】利用得到两点的坐标,代入双曲线方程,变形作差得到,是定比点差的变形应用.另外,该题可以拓展到一般性,有如下结论:
【结论1】已知过点的直线与双曲线交于两点,与轴交于点,若,则.
由于圆、椭圆、双曲线、抛物线都是二次曲线,很多时候它们之间存在类似的性质,于是由类比联想,推广得如下结论:
【结论2】已知过点的直线与椭圆交于两点,与轴交于点,若,则.
【结论3】已知过点的直线与圆交于两点,与轴交于点,若,则.
结论1,2,3的证明,可参照例题.
【结论4】已知抛物线上两点,若直线分别与轴交于点,且,则.
【解析】设,由,得,由点在抛物线上,则即两式相减得.
【结论5】已知抛物线上两点,若直线分别与轴交于点,且,则.
结论5的证明,参照例5.
例6.(2022河北邯郸·二模)已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线l交椭圆于A,B两点,交y轴于点M,若,的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2),,试分析是否为定值,若是,求出这个定值,否则,说明理由.
【答案】(1);(2)
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