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专题12定比点差法及其应用
微点1定比点差法及其应用初步
【微点综述】
在处理解析几何“中点弦”问题时,我们常用的方法是“点差法”,该法模式化强,计算量小,学生易于掌握,其实在面临“非中点弦”问题时,我们依然可以使用“点差法”,只是在处理非中点问题时,需要根据线段所分得的比值做代数处理,一般把这种方法叫做“定比点差法”.相比于传统的点差法,定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势.本文在定比分点的基础上,分别以椭圆、双曲线、抛物线为例介绍该法的由来,并例举该法在几类解析几何问题中的初步应用,全面系统地介绍了“定比点差法”.
在讲定比点差法前,我们先引出定比分点的概念.
一、定比分点
若,则称点为点的定比分点.若,点在线段上,此时称点为内分点;若,点在线段的延长线上,此时称点为外分点.
①点在线段上()②点在线段的延长线上()
③点在线段的反向延长线上()
补充定义:当时,对应的定比分点可以认为是无穷远点.
二、定比点差法原理
1.线段定比分点向量公式及坐标公式
已知,设,则.
证明:证法一:设,
.
证法二:设,则,
利用对应坐标相等即可推出.
2.“定比点差法”的由来
(1)若点在椭圆上,且点满足,则于是有,
整理得,
即①(和定比分点坐标公式形式保持一致).
(2)若点在双曲线上,且点满足,则于是有,
整理得,
即②.
(3)若点在抛物线上,且点满足,则于是有,变形得,即③.
说明:1.上述表达式①、②、③的推导方法就叫“定比点差法”,由推导过程可以看出,该法是“点差法”的更一般的推广而已,当时,“定比点差法”即为“点差法”.
2.上述表达式①、②、③的形式与的形式是一致的,因此和极点极线有关的题目都可以尝试利用定比点差法进行处理.
三、定比点差对称轴轴上点公式
对于过轴上的定点或直线和圆锥曲线相交,一般可以都可以尝试利用定比点差法进行求解,而且会比常规的韦达定理法要简洁很多!下面给出常用的几个公式.
过定点的直线与椭圆相交于两点,设,,则有
①截距对偶公式:;②坐标公式:;
③拓展公式之:
四、定比点差法的应用
(一)应用定比点差法求点的坐标
例1.已知分别是椭圆的左右焦点,点在椭圆上,且,则点的坐标是.
【答案】
【解析】如图,延长交椭圆于点,由对称性得,则.
设,则,
又,由点在椭圆上,则
于是有,即,联立,解得,则.
【评注】由向量数乘的几何意义知//且,考虑到椭圆的中心对称性,可以延长交椭圆于点,得到,从而得到三点共线,且,于是定点为焦点弦的定比分点,自然想到使用定比点差法.
(二)应用定比点差法求离心率
例2.已知椭圆内有一点,过的两条直线、分别与椭圆交于和两点,且满足,(其中且),若变化时直线的斜率总为,则椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设,由可得:,据此可得:,同理可得:,
则:,将点A,B的坐标代入椭圆方程做差可得:,
即:,同理可得:,两式相加可得,故:,
据此可得:.
【评注】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出a,c,代入公式;
②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
例3.已知椭圆,过其左焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点,若,求椭圆的离心率.
【解析】设,由得,由得由点在椭圆上,则两式作差得,
,联立,得
,又,于是有,整理得,两边都除以,得,解得或,又.
【评注】处理焦点弦问题时,相较于联立直线与曲线方程法,定比点差法运算量小,过程简洁.
(三)应用定比点差法求直线方程
例4.已知椭圆的左、右焦点分别为,焦距为,过点作直线与椭圆相交于两点,且△的周长为.
(1)求椭圆的标准方程;(2)若,求直线的方程.
【解析】(1)由已知可得,又,解得所求的椭圆的标准方程为.
(2)由,得.设,得,又,由点在椭圆上,得两式作差得,联立,解得,又,解得直线的方程为或.
【评注】由平面向量共线定理及向量数乘的几何意义,得,自然考虑定比点差法
(四)应用定比点差法求弦长
例5.已知斜率为的直线与抛物线的交于两点,与轴交于点,若,求.
【解析】设,由,得,则由点在抛物线上,则于是有,则,联立,得,又,则,
由.
【评注】由已知条件可知该题可使用定比点差法,得
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