专题12 定比点差法及其应用 微点1 定比点差法及其应用初步（学生版）.docxVIP

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专题12定比点差法及其应用

微点1定比点差法及其应用初步

【微点综述】

在处理解析几何“中点弦”问题时，我们常用的方法是“点差法”，该法模式化强，计算量小，学生易于掌握，其实在面临“非中点弦”问题时，我们依然可以使用“点差法”，只是在处理非中点问题时，需要根据线段所分得的比值做代数处理，一般把这种方法叫做“定比点差法”．相比于传统的点差法，定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势．本文在定比分点的基础上，分别以椭圆、双曲线、抛物线为例介绍该法的由来，并例举该法在几类解析几何问题中的初步应用，全面系统地介绍了“定比点差法”．

在讲定比点差法前，我们先引出定比分点的概念．

一、定比分点

若，则称点为点的定比分点．若，点在线段上，此时称点为内分点；若，点在线段的延长线上，此时称点为外分点．

①点在线段上（）②点在线段的延长线上（）

③点在线段的反向延长线上（）

补充定义：当时，对应的定比分点可以认为是无穷远点.

二、定比点差法原理

1．线段定比分点向量公式及坐标公式

已知，设，则．

证明：证法一：设，

.

证法二：设，则，

利用对应坐标相等即可推出．

2．“定比点差法”的由来

（1）若点在椭圆上，且点满足，则于是有，

整理得，

即①（和定比分点坐标公式形式保持一致）．

（2）若点在双曲线上，且点满足，则于是有，

整理得，

即②．

（3）若点在抛物线上，且点满足，则于是有，变形得，即③．

说明：1.上述表达式①、②、③的推导方法就叫“定比点差法”，由推导过程可以看出，该法是“点差法”的更一般的推广而已，当时，“定比点差法”即为“点差法”．

2.上述表达式①、②、③的形式与的形式是一致的，因此和极点极线有关的题目都可以尝试利用定比点差法进行处理.

三、定比点差对称轴轴上点公式

对于过轴上的定点或直线和圆锥曲线相交，一般可以都可以尝试利用定比点差法进行求解，而且会比常规的韦达定理法要简洁很多！下面给出常用的几个公式.

过定点的直线与椭圆相交于两点，设，，则有

①截距对偶公式：；②坐标公式：；

③拓展公式之：

四、定比点差法的应用

（一）应用定比点差法求点的坐标

例1．已知分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且，则点的坐标是．

【答案】

【解析】如图，延长交椭圆于点，由对称性得，则．

设，则，

又，由点在椭圆上，则

于是有，即，联立，解得，则．

【评注】由向量数乘的几何意义知//且，考虑到椭圆的中心对称性，可以延长交椭圆于点，得到，从而得到三点共线，且，于是定点为焦点弦的定比分点，自然想到使用定比点差法．

（二）应用定比点差法求离心率

例2．已知椭圆内有一点，过的两条直线、分别与椭圆交于和两点，且满足，（其中且），若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】设，由可得：，据此可得：，同理可得：，

则：，将点A，B的坐标代入椭圆方程做差可得：，

即：，同理可得：，两式相加可得，故：，

据此可得：．

【评注】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．

例3．已知椭圆，过其左焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若，求椭圆的离心率．

【解析】设，由得，由得由点在椭圆上，则两式作差得，

，联立，得

，又，于是有，整理得，两边都除以，得，解得或，又．

【评注】处理焦点弦问题时，相较于联立直线与曲线方程法，定比点差法运算量小，过程简洁．

（三）应用定比点差法求直线方程

例4．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，过点作直线与椭圆相交于两点，且△的周长为．

（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程．

【解析】（1）由已知可得，又，解得所求的椭圆的标准方程为．

（2）由，得．设，得，又，由点在椭圆上，得两式作差得，联立，解得，又，解得直线的方程为或．

【评注】由平面向量共线定理及向量数乘的几何意义，得，自然考虑定比点差法

（四）应用定比点差法求弦长

例5．已知斜率为的直线与抛物线的交于两点，与轴交于点，若，求．

【解析】设，由，得，则由点在抛物线上，则于是有，则，联立，得，又，则，

由．

【评注】由已知条件可知该题可使用定比点差法，得