专题7 圆锥曲线之极点与极线 微点2 极点与极线问题常见模型总结(学生版).docx

专题7 圆锥曲线之极点与极线 微点2 极点与极线问题常见模型总结(学生版).docx

  1. 1、本文档共12页,可阅读全部内容。
  2. 2、原创力文档(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
  3. 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载
  4. 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多

答案第=page11页,共=sectionpages22页

答案第=page11页,共=sectionpages22页

专题7圆锥曲线之极点与极线

微点2极点与极线问题常见模型总结

专题7圆锥曲线之极点与极线

微点2极点与极线问题常见模型总结

【微点综述】

在高中阶段,很多定点定直线问题都以此为背景,因此,高中生有必要了解极点极线的相关知识,这样就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容,更容易抓住问题的本质,虽然高考解答题不能用相关结论,但是我们可以将它作为辅助手段,快速的找到正确答案,然后再用初等方法写过程解题.也就是说只有熟练“二级结论”才能明确运算方向、提高运算效率.本专题总结了极点与极线应用的几个常见模型.

一、焦点准线模型(乘积为模型)

【引理】从直线上任意一点向椭圆的左右顶点引两条割线与椭圆交于两点,则直线恒过定点.

例1.(2020全国高考Ⅰ卷20)

1.已知A、B分别为椭圆E:(a1)的左、右顶点,G为E的上顶点,,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.

(1)求E的方程;

(2)证明:直线CD过定点.

【定理3】椭圆左右顶点为,椭圆外一点(且),交椭圆于另一点交椭圆于另一点,则直线过定点,且满足.

证明:①当直线斜率不为时,设为,点,由于,则直线分别为

分别在上,则①

在上,即②

①②得,

联立直线与椭圆消去得,由韦达定理得

将此式代入③得:,

因式分解得:,

化简得,当时,如下图,直线过点,即此时共点,不符合题意,,再通分化简得:,即,即直线也过定点.

②当直线斜率为时,经验证直线也过定点.

二、斜率与斜率成等差模型

【定理4】如图1,已知椭圆椭圆,点,不与轴垂直的直线与椭圆交于两点,则直线过定点等价于轴平分,即,双曲线类似.

【定理5】如图2,已知椭圆,点,直线过点且与椭圆交于不同的两点,与直线交于,且点为直线上任意一点,直线的斜率分别为,则.

图1

图2

三、调和点列模型

(1)调和点列

直线上依次四点,若满足,则称成调和点列(为内分点,为外分点),特别地,若在无穷远处,则,即此时为中点.

(2)调和点列与极点极线

设点关于圆锥曲线的极线为,过点任作一割线交于,交于,则;反之,若有成立,则称点调和分割线段,或称关于调和共辄.

四、线段比模型

【定理6】已知调和线束,若有一条直线分别与调和线束交于四点,那么也成调和点列.

【定理7】己知调和线束,若有一条直线平行于调和线束中的一条,且与剩余三条分别交于三点,那么这三点中的内点平分该线段.

五、切线模型

1.圆锥曲线的切线方程

(1)设是椭圆上一点,则过的椭圆的切线方程为:;

(2)设是双曲线上一点,则过的双曲线的切线方程为:;

(3)设是抛物线上一点,则过的抛物线的切线方程为:.

2.椭圆的光学性质

如图,从椭圆一个焦点出发的光线经过反射后穿过另一个焦点,即桶圆上任一点处的切线的垂线(法线)平分过该点的两条焦半径的夹角.

3.抛物线的光学性质

如图,从抛物线焦点出发的光线经过反射平行于抛物线对称轴.假设过抛物线上任意一点作切线与对称轴交于点,则且.

4.极点与极线的几何意义

(1)当在圆锥曲线上时,则点的极线是曲线在点处的切线;

(2)当在圆锥曲线内时,过点任作一割线交于,,设在,处的切线交于点,则点的极线是动点的轨迹;【极线与圆锥曲线必定相离】

(3)当在圆锥曲线外时,过点作的两条切线,设其切点分别为,,则点的极线是直线(即切点弦所在的直线).【极线与圆锥曲线必定相交】

六、定点与定值模型

【定理8】已知椭圆,为过定点的动弦,为椭圆上任意一点,交直线于两点,则以为直径的圆恒过定点,特别地,当为椭圆的焦点时,以为直径的圆恒过焦点以及它关于准线的对称点.

例2.(2022年高考全国乙卷理20)

2.已知椭圆的中心为坐标原点,对称轴为轴、轴,且过两点.

(1)求的方程;

(2)设过点的直线交于两点,过且平行于轴的直线与线段交于点,点满足.证明:直线过定点.

【分析】(I)将给定点代入设出的方程求解即可;(II)设出直线方程,与椭圆的方程联立,分情况讨论斜率是否存在,即可得解.

(I)解:设椭圆的方程为,过,则,解得,,所以椭圆的方程为:.

(II)证法一:定点为,证明如下:

点对应的极线为,即,即为直线,则为调和线束,过作//,交于,由调和性质可知为中点,故直线过定点.

证法二:,所以,

①若过点的直线斜率不存在,直线.代入,可得,,代入AB方程,可得,由得到.求得方程:,过点.

②若过点的直线斜率存在,设.

联立得,

可得,,且

联立可得,

可求得此时,

将,代入整理得,

将代入,得,显然成立.

综上,可得直线过定点.

【评注】求定点、定值问题常见的方法有

您可能关注的文档

文档评论(0)

hyqhyqhyq616 + 关注
实名认证
内容提供者

该用户很懒,什么也没介绍

1亿VIP精品文档

相关文档