专题9.3 椭圆【解析版】.docx

专题9.3椭圆

【核心素养】

1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．

2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．

知识点

知识点一

椭圆的定义

(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

(2)代数式形式：集合

①若，则集合P为椭圆；

②若，则集合P为线段；

③若，则集合P为空集．

知识点

知识点二

椭圆的标准方程

1.椭圆的标准方程：

（1）焦点在轴，；

（2）焦点在轴，.

2．满足条件：

知识点

知识点三

椭圆的几何性质

椭圆的标准方程及其几何性质

条件

图形

标准方程

范围

对称性

曲线关于轴、原点对称

曲线关于轴、原点对称

顶点

长轴顶点,短轴顶点

长轴顶点,轴顶点

焦点

焦距

离心率

，其中

通径

过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为

常考题型剖析

常考题型剖析

题型一：椭圆的定义及其应用

【典例分析】

例1-1．（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（????）

A．1 B．2 C．4 D．5

【答案】B

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；

方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．

【详解】方法一：因为，所以，

从而，所以．

故选：B.

方法二：

因为，所以，由椭圆方程可知，，

所以，又，平方得：

，所以．

故选：B.

例1-2.（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；

方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；

方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．

【详解】方法一：设，所以，

由，解得：，

由椭圆方程可知，，

所以，，解得：，

即，因此．

故选：B．

方法二：因为①，，

即②，联立①②，

解得：，

而，所以，

即．

故选：B．

方法三：因为①，，

即②，联立①②，解得：，

由中线定理可知，，易知，解得：．

故选：B．

【规律方法】

1.应用椭圆的定义，可以得到结论：

（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.

2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.

3.椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．

(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．

【变式训练】

变式1-1.（2021·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（）

A．13 B．12 C．9 D．6

【答案】C

【分析】

本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．

【详解】

由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

变式1-2.（2021·全国）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（）

A．1 B．－1 C． D．

【答案】A

【分析】

设椭圆的左焦点为，得到，得出，结合图象，得到当且仅当，，三点共线时，取得最小值，即可求解.

【详解】

设椭圆的左焦点为，则，可得，

所以，

如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，

此时取得最小值，

又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．

故选：A．

题型二：椭圆上的点、焦点距离问题

例2-1.（2023·江苏南通·统考三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（????）

A．5 B．6 C． D．

【答案】D

【分析】利用椭圆的定义、点和圆的位置关系等知识确定正确答案.

【详解】依题意，设椭圆的左焦点为，

圆的圆心为，半径为，

，

当三点共线，且在之间时等号成立.

而，

所以，

当四点共线，且在之间，是的延长线与圆的交点时等号成立.

故选：D

??

例2-2.（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（????）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】先根据题意得到，然后利用余弦定理求得，接着求，最后利用三角形面积公式即可得到答案

【详解】由椭圆可得，

所以，，所以，

所以在中，，

因为，且，

所以，

设的坐标为，且，