初升高数学暑假衔接（人教版）第10讲 函数的单调性与最大（小）值（学生版）.pdf

第10讲函数的单调性与最大（小）值

1．理解函数的单调性及其意义，明确增函数、减函数的图象特征；

2．能根据图象写出函数的单调区间，并能利用定义进行证明；

3．理解函数的最大（小）值及其几何意义，会求一些简单函数的最值。

一、函数的单调性

1、单调函数的定义

设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x,x

12

当xx时，都有f(x)f(x)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数；

1212

当xx时，都有f(x)f(x)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。

1212

2、单调性的图形趋势（从左往右）

上升趋势下降趋势

3、函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严

格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

【注意】

（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，

故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．

（2）单调区间D⊆定义域I.

（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；

（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；

二、函数的最大（小）值

1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，

0

那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x时，f(x)是函数y＝f(x)的最大值，记作y＝f(x)．

00max0

2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，

0

那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x时，f(x)是函数y＝f(x)的最小值，记作y＝f(x)．

00min0

3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一

个．

三、定义法证明函数单调性的步骤

①取值：设x，x为该区间内任意的两个值，且x＜x

1212

②作差变形：做差f（x）-f（x），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号

12

的方向变形

③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论

④判断：根据定义做出结论。

四、函数单调性的性质

若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

f(x)g(x)

（1）与（C为常数）具有相同的单调性.

f(x)f(x)C

（2）与的单调性相反.

f(x)f(x)

（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.

a0af(x)f(x)a0af(x)f(x)

（4）若f(x)≥0，则f(x)与f(x)具有相同的单调性.

（5）若f(x)恒为正值或恒为负值，则当a0时，f(x)与a具有相反的单调性；