【数学】二次函数图像与性质.docx

初三数学一轮复习

专题二次函数图像与性质

知识要点

考点1：二次函数的定义

一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

要点诠释：

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.

考点2：二次函数的图象与性质

1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

几种特殊的二次函数的图象特征如下：

函数解析式

开口方向

对称轴

顶点坐标

当时

开口向上

当时

开口向下

(轴)

(0，0)

(轴)

(0，)

(，0)

(，)

()

2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.

3.抛物线中，的作用：

(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.

(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：

①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.

4.用待定系数法求二次函数的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(可以看成的图象平移后所对应的函数.)

(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：

（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).

注：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

二、精选题型

【题型1：二次函数的定义】

【典例1】（2013·江苏宿迁·校联考二模）下列函数中是二次函数的有（??????）

①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

1．（2022·江苏泰州·统考一模）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为．

2．（2020·江苏镇江·校考模拟预测）若是二次函数，则；抛物线的顶点坐标是．

3．（2019·江苏镇江·统考一模）已知函数的图像是一条抛物线，则m=.

4．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、同时出发，用t（s）表示移动的时间（），那么：

(1)设的面积为y，求y关于t的函数关系式；

(2)当的面积为时，沿直线翻折后得到，试判断点是否落在直线上，并说明理由．

【题型2：二次函数的图像】

【典例2】（2023·江苏镇江·统考中考真题）二次函数的最大值为．

1．（2023·江苏镇江·统考二模）关于二次函数，下列说法正确的是（）

A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是

C．该函数有最大值，最大值是2 D．当时，y随x的增大而增大

2．（2012·江苏淮安·统考一模）如图，在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（????）

A．?? B．?? C．?? D．??

3．（2010·江苏扬州·统考一模）已知二次函数，y与x的部分对应值如表：

x

…

0

1

3

…

y

…

1

3

1

…

则下列判断中正确的是（????）

A．抛物线开口向上

B．抛物线与y轴交于负半轴

C．当时，

D．方程的正根在3与4之间

4．（2012·江苏徐州·中考真题）二次函数的图象经过点（4，3），（3，0）．

（1）求b、c的值；

（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；

（3）在所给坐标系中画出二次函数的图象．

【题型3：二次函数的性质】

【典例3】（2023·江苏泰州·统考二模）已知抛物线，，为该抛物线上的两点，若，则的取值范围（????）

A． B． C．或 D．

1．（2019·江苏镇江·统考一模）如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若为直角，则

2．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知二次函数的图象与轴交于两点，且满足：．当时，该函数的最大值与满足的关系式是