考研经典数学讲义第八章多元函数微分法.pptVIP

*求多元函数在闭区域D上的最值,往往比较复杂.但如果根据问题的实际意义,知道函数在D内存在最值,又知函数在D内可微,且只有唯一驻点,则该点处的函数值就是所求的最值.特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,★函数的最值应用问题的解题步骤：第二步判别?比较驻点及边界点上函数值的大小,?根据问题的实际意义确定最值.第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件);6)函数的最值应用问题*例5.求曲面与平面解：设为抛物面上任一点，则P的距离为问题归结为约束条件:目标函数:到平面之间的最短距离.令得唯一驻点：根据问题的实际意义,知*(08数学一,11分)(10数三)*在山坡上沿不同方向行走时陡缓不一样.空气沿不同方向流动的快慢不一样.在数学上，即设函数当(x，y)沿不同方向改变时的变化率决定着陡缓与快慢.如图：3.方向导数与梯度★问题的提出:*★方向导数1)定义:则称记作xoy*的方向导数为：*2)方向导数的存在性及其计算方法:定理那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在,且有说明:(1)可微沿任一方向的方向导数存在.反之不一定成立.如：在点处沿任一方向的方向导数为1，但它在处不可微（因不可导）.*(3)若计算，只需在题设中找到(4)几个关系：连续可微分偏导数存在一阶偏导数连续有定义注：反之不成立.*(5)推广可得三元函数方向导数的定义及计算公式1)定义：函数在点处沿方向的方向导数.*例6.解:方向余弦为而同理得*方向导数公式记向量方向导数取最大值：这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值1)定义：记作称为函数f(x,y,z)在点P处的梯度(gradient),向量★梯度*即同样可定义二元函数函数f(x,y,z)在点P处的梯度在点处的梯度2)梯度与方向导数的关系:(1)区别：(2)联系：梯度是向量，方向导数是数量.函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得方向导数的最小值？最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.即*例7.求函数由梯度计算公式得梯度,并求该函数在点处的方向导数的最大值.解：则该函数在点处的方向导数的最大值为：*3.(05数1)**定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确*根据隐函数存在定理，存在点的一个邻域，在此邻域内，该方程(A)只能确立一个具有连续偏导的隐函数(B)可以确立具有连续性偏导的隐函数(C)可以确立具有连续性偏导的隐函数(D)可以确立具有连续性偏导的隐函数设则例3.提示:*例4.设解法1:直接求导法再对x求导注意：对x求导时,应把y看成常量,把z看成x,y的函数.*例4.设解法2:利用公式设则解法3:利用微分法求导*(10数学一,二)(13数三)*解:方程两边求微分,得即例5.设是由方程和所确定的函数,求(99考研)分析:自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定函数的个数=方程的个数*一、基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用第八章多元函数微分法推广一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同.*1.在几何中的应用★求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)三、多元函数微分法的应用曲面曲面?在点1)隐式情况：的法向量：切点曲面2)显式情况：法线的方向余弦：法向量：切点*★求曲线的切线及法平面(关键:抓住切向量)1)参数式情况.切向量2)一般式情况.切点切向量其指向与t的增长方向一致.*★已知平面光滑曲线切点该曲线在处的切向量为：★若平面光滑曲线方程为特别的：其指向与t的增长方向一致.