第七章-假设检验.doc

第七章假设检验

§7.1假设检验的根本思想

内容概要

1.假设

参数空间?={?}的非空子集或有关参数?的命题，称为统计假设，简称假设。

原假设，根据需要而设立的假设，常记为H0:???o.

备择假设，在原假设被拒绝后而采用(接受)的假设，常记为H1:???1.

2.检验 对原假设H0:???o.作出判断的法那么称为检验法那么，简称检验。检验有两个结果：

“原假设不正确”，称为拒绝原假设，或称检验显著；

“原假设正确”，称为接受原假设，或称检验不显著

3.检验问题

由原假H0和备择假设H1组成的一个需要作判断的问题称为检验问题。

参数检验问题，两个假设都是由有关参数的命题组成的检验问题；

非参数检验问题，两个假设都是由有关分布的命题组成的检验问题。

常用的参数的假设检验问题有如下三种，其中?0是常数

(1)H0:???ovsH1:??o

(2)H0:???ovsH1:??o

(3)H0:?=?ovsH1:???o

其中(1)与(2)又称单侧检验问题，因为一个假设位于另一个假设的一侧，(3)称为双侧检验问题，因为备择假设位于原假设的两侧。

4.两类错误及其发生的错误

原假设正确，但被拒绝，这种判断错误称为第一类错误，其发生概率称为犯第一类错误的概率，或称拒真概率，常记为；

原假设不真，但被接受，这种判断错误称为第二类错误，其发生概率称为犯第二类错误的概率，或称受伪概率，常记为.

5．假设检验的根本步骤

(1)建立假设.根据要求建立原建设和备择假设.

(2)选择检验统计量，给出拒绝域的形式.

用于对原假设作出判断的统计量称为检验统计量；

使原假设被拒绝的样本观察值所在区域称为拒绝域，常用表示；

一个拒绝域唯一确定一个检验法那么，反之，一个检验法那么唯一确定一个拒绝域.

选择显著性水平.只控制犯第一类错误的概率不超过的检验称为水平为的检验，或称为显著性检验，但也不能使过小(过小会导致增大)，在适当控制中制约，最常用的，有时也选择.或者.

给出拒绝域.由概率等式确定具体的拒绝域.

作出判断.

当样本,那么拒绝,即接受;

当样本那么接受.

6.势函数设检验问题的拒绝域为,那么样本观测值落在拒绝域内的概率称为该检验的势函数,记为

由势函数容易得到犯两类错误的概率

习题与解答2.1

1.设是来自的样本,考虑如下假设检验问题

vs

假设检验由拒绝域确定.

当时求检验犯两类错误的概率；

如果要使得检验犯第二类错误的概率最小应取多少？

证明：当时，

解：(1)由定义知，犯第一类错误的概率为

这是因为在成立下，而犯第二类错误的概率为

这是因为在H1成立下，

(2)假设使犯第二类错误的概率满足

即，或，查表得：，因此，，即n最小应取34,才能使检验犯第二类错误的概率

(3)在样本量为n时，检验犯第一类错误的概率为

检验犯第二类错误的概率

注：从这个例子可以看出，要使检验犯两类错误的概率都趋于零，必须样本容量无限增大才行，这一结论在一般场合仍然成立。但是在实际中，样本容量很大往往不可行，故在一般情况下不可能做到犯两类错误的概率都很小。

2.设x1,x2,…,x10是来自0-1总体B(0,1)的样本，考虑如下检验问题：

H0:p=0.2 vsH0:p=0.4

取拒绝域，求该检验犯两类错误的概率。

解：x1,x2,…,x10～B(0,1),那么，于是犯两类错误的概率分别为：

检验犯第二类错误的概率

讨论：这里?=0。0328已经很小了，但是?=6331却很大，在样本容量n=10固定下，要使?变小，那么?就会变大。为了进一步说明这一点，我们试着改变拒绝域为,那么这时检验犯两类错误的概率分别为

=0.0328-=0.0328-0.0264=0.0064,

这一现象在一般场合也是对的，即在样本量n固定下，减小必导致增大?，减小?也必导致增大?.

3．设x1,x2,…,x16是来自正态总体N(?,4)的样本，考虑检验问提H0:?=6vsH0:??6

拒绝域取为,试求c使得检验的显著性水平为0.05，并求检验在?=6.5处犯第二类错误的概率。

解：在H0为真的条件下，，因而由

即当c=0.98时，检验的显著性水平为0.05

检验在?=6.5处犯第二类错误的概率为

解：均匀分布U(0,的最大次序统计量，因而检验犯第一类错误的概率为

它是?的严减函数，故其最大值在?=3处到达，即

假设要使得那么要求nln(2.5/3)这给出n16.43，即n至少为17.

5.在假设检验问题中，假设检验结果是接受原假设，那么检验可能犯哪一类错误?假设检验结果是拒绝原假设，那么又有可能犯哪一类错误？

解：假设检验结果是接受原假设，可能有两种情况：其一是