线段的中垂线和角平分线教学课件.pptVIP

线段的中垂线和

角平分线角平分线性质角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E求证：PD=PE在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。ABOPDE12C定理：证明:∵∠1=∠2,OP=OP∠PDO=∠PEO=90°∴⊿PDO≌⊿PEO(AAS)∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)定理的题设和结论分别是什么？在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上OEBADP反过来：证明:在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,∠ODP=∠OEP=90°OP=OP,PD=PERt⊿OPD≌Rt⊿OPE(HL)已知：MN⊥AB于C，AC=BC，点P在MN上。求证：PA=PB证明：∵MN⊥AB（已知）∴∠PCA=∠PCB（垂直定义）在△PCA和△PCB中：AC=CB（已知）PCA=PCB（已证）PC=PC（公共边）∴△PCA≌△PCB（SAS）∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）pABNMC线段的垂直平分线(中垂线)特征线段的垂直平分线上的一点到这条线段的两个端点的距离相等反过来：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上角的平分线ODEABPC定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线可以看作是和线段两端点距离相等的所有点的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条直线1.已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D，连结BE，若∠A=50°，则∠EBC=__________。2.已知：如图，B、C、D、E都在边BC上，FD、EG分别是AB、AC的中垂线。1）若BC=10，三角形ADE的周长.2）若∠BAC=100°，∠DAE的度数。CFDEBAGABCED填空:证明：过E作EF⊥AD于E∵DE平分∠ADC，EC⊥DC，EF⊥FD∴CE=EF又CE=BF∴EF=BE，而EF⊥AF，BE⊥AB∴E在∠DAB的平分线上即AE平分∠DAB例1、如图所示，AB∥CD，∠B=90o，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠DAB。例2、还记得在全等三角形中证明的一个习题吗？如图所示，已知：在?ABC中，分别以AC、BC为边，向外作正?ACD、正?BCE，BD与AE相交于M，求证：AE=BD。这是在全等三角形中一道常见的习题，你知道吗，在这个结论的基础上还能证明MC平分∠DME，请你试一试.例3、角平分线上的点到角的两边距离相等，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”。如图所示：①若∠BAD=∠CAD，且BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，则BD=CD，②若BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，且BD=CD，则∠BAD=∠CAD试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：如图所示，（1）作出?ABC两内角的平分线，其交点为P；（2）分别作出?ABC两外角平分线，其交点分别为D，E，F故满足条件的修建点有四处，即P，D，E，F。三角形的角平分线的性质应用练习:1、如图,已知:AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F求证：AD垂直平分EF2、如图,在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，交AB于E，EF⊥AD，交BC的延长线于F。求证：∠FAC=∠B4．如图△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O，

求证：AE＋CD＝AC。

E解法欣赏:已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD求证：∠BAP+∠BCP=180°BAPDCN12M方法总结：（1）有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，在利用角平