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浙江大学概率论与数理统计课件ch2new;§1随机变量;;4;常见的两类随机变量;例:掷硬币3次,出现正面的次数记为X.
;定义:取值至多可数的随机变量为离散型的随机变量。概率分布(分布律)为;概率分布;例:某人骑自行车从学校到火车站,一路上要经过3个独立的交通灯,设各灯工作独立,且设各灯为红灯的概率为p,0p1,以X表示首次停车时所通过的交通灯数,求X的概率分布律。;解:设Ai={第i个灯为红灯},则P(Ai)=p,i=1,2,3且A1,A2,A3相互独立。;p;例:若随机变量X的概率分布律为
求常数c.;解:;几个重要的离散型随机变量;记为;对于一个随机试验,如果它的样本空间只包含两个元素,即,我们总能在S上定义一个服从(0-1)分布的随机变量。;检查产品的质量是否合格,对新生婴儿的性别进行登记,检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用(0-1)分布的随机变量来描述。;一个随机试验,设A是一随机事件,且P(A)=p,(0p1).若仅考虑事件A发生与否,定义一个服从参数为p的0-1分布的随机变量:;二、二项分布;独立重复地抛n次硬币,每次只有两个可能的结果:正面,反面,;如果是不放回抽样呢?;设A在n重贝努利试验中发生X次,则;推导:以n=3为例,设Ai={第i次A发生};例:有一大批产品,其验收方案如下:先作第一次检验,从中任取10件,经检验无次品接受这批产品,次品数大于2拒收;否则作第二次检验,从中任取5件,仅当5件中无次品便接受这批产品,设产品的次品率为p.求这批产品能被接受的概率.;解:设A={接受该批产品}。设X为第一次抽得的次品数,Y为第2次抽得的次品数.;例:设随机变量;泊松分布(Poisson分布);求(1)随机观察1个单位时间,至少有3人候车的概率;
(2)随机独立观察5个单位时间,恰有4个单位时间至少有3人候车的概率。;30;;32;例:某地区一个月内每200个成年人中有1个会患上某种疾病,设各人是否患病相互独立。若该地区一社区有1000个成年人,求某月内该社区至少有3人患病的概率。;35;称X服从超几何分布;例:一袋中有a个白球,b个红球,a+b=N,从中不放回地取n个球,设每次取到各球的概率相等,以X表示取到的白球数,则X服从超??何分布。
;称X服从参数p的几何分布;例:从生产线上随机抽产品进行检测,设产品的次品率为p,0p1,若查到一只次品就得停机检修,设停机时已检测到X只产品,则X服从参数p的几何分布。;称X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布.;例:独立重复地进行试验,每次试验的结果为成功或失败,每次试验中成功的概率均为p,0p1,试验进行到出现r次成功为止,以X表示试验次数,则X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布。;思考题:一盒中有2个红球4个白球,
(1)从中取一球,X表示取到的红球数;
(2)采用不放回抽样取3球,Y表示取到的红球数;
(3)采用放回抽样取3球,Z表示取到的红球数;
(4)采用放回抽样取球,直到取到红球为止,U表示取球次数;
(5)采用放回抽样取球,直到取到3个红球为止,V表示取球次数。
上述随机变量X,Y,Z,U,V的分布律是什么呢?;解答:(1)X服从0-1分布,P(X=1)=1/3,P(X=0)=2/3;;§3随机变量的分布函数;45;例:p0,q0,q+p=1.
;解:;;;例:设一物体在A,B两点间移动,A,B之间距离3个单位。该物体落在A,B间任一子区间的概率与区间长度成正比。设它离A点的距离为X,求X的分布函数。;与离散型随机变量的分布函数不同;;;与物理学中的质量线密度的定义相类似;思考题:;例:设X的概率密度为
(1)求常数c的值;
(2)写出X的概率分布函数;
(3)要使 求k的值。
;解:;60;几个重要的连续量;62;例:(1)在区间(-1,2)上随机取一数X,试写出X的概率密度。并求 的值;
(2)若在该区间上随机取10个数,求10个数中恰有两个数大于0的概率。; 解:(1)X为在区间(-1,2)上均匀分布 ;例:杭州某长途汽车站每天从早上6点(第一班车)开始,每隔30分钟有一班车开往上海。王先生在早上6:20过X分钟到达车站,设X服从(0,50)上的均匀分布,
(1)求王先生候车时间不超过15分钟的概率;
(2)如果王先生一月中有两次按此方式独立地去候车,求他一次候车不超过15分钟,另一次候车大于10分钟的概率。;6:206:306:457:007:10;指数分布;X具有如下的无记忆
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