第41讲拔高点突破01 三角函数与解三角形背景下的新定义问题（十大题型）（原卷版）.pdf

拔高点突破01三角函数与解三角形背景下的新定义问题

目录

01方法技巧与总结2

02题型归纳与总结3

题型一：托勒密问题3

题型二：与三角有关的新定义函数5

题型三：n倍角模型与倍角三角形7

题型四：双曲正余弦函数9

题型五：射影几何问题10

题型六：正余弦方差12

题型七：曼哈顿距离和余弦距离13

题型八：费马问题14

题型九：布洛卡点问题15

题型十：勒洛三角形、莱洛三角形、拿破仑三角形17

03过关测试20

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在三角函数与解三角形背景下的新定义问题中，解题方法通常涉及对三角函数性质、解三角形方法的

深入理解以及灵活应用。以下是一些常用的解题方法：

1、理解新定义：

首先，需要仔细阅读题目中的新定义，理解其含义和所涉及的数学概念。

将新定义与已知的三角函数或解三角形的方法联系起来，找出其中的关联点。

2、利用三角函数性质：

应用三角函数的定义、诱导公式、同角关系式、和差化积公式等，将问题转化为已知的三角函数问题。

利用三角函数的图像和性质，如周期性、奇偶性、单调性等，来分析和解决问题。

3、应用解三角形的方法：

使用正弦定理、余弦定理等解三角形的基本方法，将三角形的边和角联系起来。

通过作辅助线、构造特殊三角形等方式，将复杂问题转化为简单问题。

4、结合图形分析：

在解题过程中，结合图形进行分析，可以更直观地理解问题。

利用图形的对称性、相似性等性质，简化计算过程。

5、注意特殊值和极端情况：

在解题时，要注意考虑特殊值和极端情况，如角度为0°、90°、180°等。

这些特殊值往往能提供更简单的解题路径或用于验证答案的正确性。

6、综合应用多种方法：

在解题过程中，可能需要综合运用多种方法，如代数法、几何法、三角法等。

灵活转换不同的解题方法，以适应不同的问题情境。

可以使用不同的方法或代入特殊值进行验证，以确保答案的正确性。

解决三角函数与解三角形背景下的新定义问题，需要深入理解相关概念和方法，并灵活应用多种解题

策略。通过不断的练习和反思，可以提高解决这类问题的能力。

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题型一：托勒密问题

【典例1-1】古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终

于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等

号成立且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大根据上述材料，解决以下问题，如..

．．．．．．

图，在凸四边形ABCD中，

π

(1)若，BC1，ACD，ACCD（图1），求线段长度的最大值；

AB2BD

2

BC6ADCD4ABCDA

(2)若AB2，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四

边形ABCD面积的最大值；

P△ABDB,D

在满足（）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值

(3)2PBPD.

【典例1-2】（1）四点共圆是平面几何中一种重要的位置关系：

ABCBCDACD30AC

如图，，，，四点