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专题21数列综合问题的探究
1、(2023年全国乙卷数学(文))已知等差数列SKIPIF10的公差为SKIPIF10,集合SKIPIF10,若SKIPIF10,则SKIPIF10(????)
A.-1 B.SKIPIF10 C.0 D.SKIPIF10
【答案】B
【详解】依题意,等差数列SKIPIF10中,SKIPIF10,
显然函数SKIPIF10的周期为3,而SKIPIF10,即SKIPIF10最多3个不同取值,又SKIPIF10,
则在SKIPIF10中,SKIPIF10或SKIPIF10,
于是有SKIPIF10,即有SKIPIF10,解得SKIPIF10,
所以SKIPIF10,SKIPIF10.
故选:B
2、(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知SKIPIF10为等差数列,SKIPIF10,记SKIPIF10,SKIPIF10分别为数列SKIPIF10,SKIPIF10的前n项和,SKIPIF10,SKIPIF10.
(1)求SKIPIF10的通项公式;
(2)证明:当SKIPIF10时,SKIPIF10.
【答案】(1)SKIPIF10;
(2)证明见解析.
【详解】(1)设等差数列SKIPIF10的公差为SKIPIF10,而SKIPIF10,
则SKIPIF10,
于是SKIPIF10,解得SKIPIF10,SKIPIF10,
所以数列SKIPIF10的通项公式是SKIPIF10.
(2)方法1:由(1)知,SKIPIF10,SKIPIF10,
当SKIPIF10为偶数时,SKIPIF10,
SKIPIF10,
当SKIPIF10时,SKIPIF10,因此SKIPIF10,
当SKIPIF10为奇数时,SKIPIF10,
当SKIPIF10时,SKIPIF10,因此SKIPIF10,
所以当SKIPIF10时,SKIPIF10.
方法2:由(1)知,SKIPIF10,SKIPIF10,
当SKIPIF10为偶数时,SKIPIF10,
当SKIPIF10时,SKIPIF10,因此SKIPIF10,
当SKIPIF10为奇数时,若SKIPIF10,则SKIPIF10
SKIPIF10,显然SKIPIF10满足上式,因此当SKIPIF10为奇数时,SKIPIF10,
当SKIPIF10时,SKIPIF10,因此SKIPIF10,
所以当SKIPIF10时,SKIPIF10.
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