第4讲 等式性质与不等式性质常考考点题型总结（解析版）.docx

第4讲等式性质与不等式性质常考考点题型总结

【考点分析】

考点一：两个实数的加、乘运算结果的符号的性质：

①两个同号实数相加，和的符号不变，即：；

②两个同号实数相乘，积是正数，即：；

③两个异号实数相乘，积是负数，即：

④任何实数的平方为非负数，0的平方为0，即：，.

考点二：比较两个实数大小的方法

①作差法：对任意两个实数,

1.；2.；3..

②作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.

1.；2.；3..

③中间量法：

若且，则，一般选择0或1为中间量.

考点三：不等式的性质

①基本性质有：

1.对称性：2.传递性：

3.可加性：(c∈R)4.可乘性：ab，

②运算性质

1.可加法则：2.可乘法则：

3.可乘方性：

题型一：作差法比较两数(式)的大小

【精选例题】

【例1】已知，则下列不等式成立的是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为，则，所以，所以，又，所以，所以.故选：D

【例2】已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（????）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】利用作差法判断即可.

【详解】因为，

所以，

当且仅当时取等号,

，，为不全相等的实数，因此等号不成立，即，

．

故选：A

【例3】用和分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积（一般来讲，窗户面积比地板面积小）．显然，比值越大，住宅的采光条件越好．当窗户面积和地板面积同时增加时，住宅的采光条件会得到改善（单位：）．现将这一事实表示为不等式，以下正确的是（????）

A.B.C.D.

【答案】A

【分析】先列出窗户面积和地板面积同时增加前后的比值，通过作差法即可求解.

【详解】当，，时

最开始窗户面积和地板面积的比值为，

窗户面积和地板面积同时增加后的比值为，

则，

所以当时，，此时住宅的采光条件会得到改善.

故选：A.

【例4】已知，试比较和的大小.

【答案】

【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解.

【详解】（方法1）因为，所以.

所以.

因为，所以，即；

（方法2）所以，

又，

所以,所以.

【跟踪训练】

1.设，，则有（????）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】根据作差法判断两式大小.

【详解】，∴.

故选：A.

2.已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（）

A．MNB．MNC．M≤ND．M≥N

【答案】B

【分析】作出M，N的差，变形并判断符号作答.

【详解】，

所以.

故选：B.

3.若，若，则m与n的大小关系是（）

A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．m≥m

【答案】A

【分析】利用作差法分析判断.

【详解】由题意可得：，

∵，则，

∴，即，

故选：A.

4.已知，则（????）

A．B．C．D．与的大小无法判断

【答案】A

【分析】根据作差法比较大小即可.

【详解】因为，

所以，故.

故选：A.

5.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？

(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；

(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；

(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.

【答案】(1)(其中a，b，m为正实数，且)

(2)(其中)

(3)(其中)

【分析】由题意建立不等式，利用作差法比较大小即可得证.

【详解】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖，即证明不等式(其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立．

不妨用作差比较法，证明如下：

＝.

∵a，b，m为正实数，且，，

∴，即.

（2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且，求证：(其中).

证明：，且b＞a＞0，d＞c＞0，

，即，

，

即，

，

即

（3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水，求证：(其中b＞a＞0，m＞0).

证明：，

题型二：作商法比较两数(式)的大小

【精选例题】

【例1】，则的大小关系为_______．

【答案】≥

【详解】因为，则，

由，所以，故答案为：

【跟踪训练】

1.如果，，那么，，从小到大的顺序是___________

【答案】

【详解】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以；同理，所以。

综上：，故答案为：

题型三：利用不等式的性质