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第4讲等式性质与不等式性质常考考点题型总结
【考点分析】
考点一:两个实数的加、乘运算结果的符号的性质:
①两个同号实数相加,和的符号不变,即:;
②两个同号实数相乘,积是正数,即:;
③两个异号实数相乘,积是负数,即:
④任何实数的平方为非负数,0的平方为0,即:,.
考点二:比较两个实数大小的方法
①作差法:对任意两个实数,
1.;2.;3..
②作商法:任意两个值为正的代数式、,可以作商后比较与1的关系,进一步比较与的大小.
1.;2.;3..
③中间量法:
若且,则,一般选择0或1为中间量.
考点三:不等式的性质
①基本性质有:
1.对称性:2.传递性:
3.可加性:(c∈R)4.可乘性:ab,
②运算性质
1.可加法则:2.可乘法则:
3.可乘方性:
题型一:作差法比较两数(式)的大小
【精选例题】
【例1】已知,则下列不等式成立的是(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为,则,所以,所以,又,所以,所以.故选:D
【例2】已知,,为不全相等的实数,,,那么与的大小关系是(????)
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】利用作差法判断即可.
【详解】因为,
所以,
当且仅当时取等号,
,,为不全相等的实数,因此等号不成立,即,
.
故选:A
【例3】用和分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积(一般来讲,窗户面积比地板面积小).显然,比值越大,住宅的采光条件越好.当窗户面积和地板面积同时增加时,住宅的采光条件会得到改善(单位:).现将这一事实表示为不等式,以下正确的是(????)
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】先列出窗户面积和地板面积同时增加前后的比值,通过作差法即可求解.
【详解】当,,时
最开始窗户面积和地板面积的比值为,
窗户面积和地板面积同时增加后的比值为,
则,
所以当时,,此时住宅的采光条件会得到改善.
故选:A.
【例4】已知,试比较和的大小.
【答案】
【分析】方法1:采用作商比较法,结合分母有理化即可求解;方法2:先计算,从而可得,进而可求解.
【详解】(方法1)因为,所以.
所以.
因为,所以,即;
(方法2)所以,
又,
所以,所以.
【跟踪训练】
1.设,,则有(????)
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】根据作差法判断两式大小.
【详解】,∴.
故选:A.
2.已知p∈R,,,则M,N的大小关系为()
A.MNB.MNC.M≤ND.M≥N
【答案】B
【分析】作出M,N的差,变形并判断符号作答.
【详解】,
所以.
故选:B.
3.若,若,则m与n的大小关系是()
A.m>n B.m=n C.m<n D.m≥m
【答案】A
【分析】利用作差法分析判断.
【详解】由题意可得:,
∵,则,
∴,即,
故选:A.
4.已知,则(????)
A.B.C.D.与的大小无法判断
【答案】A
【分析】根据作差法比较大小即可.
【详解】因为,
所以,故.
故选:A.
5.下列关于糖水浓度的问题,能提炼出怎样的不等关系呢?
(1)如果向一杯糖水里加糖,糖水变甜了;
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起,得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡;
(3)如果向一杯糖水里加水,糖水变淡了.
【答案】(1)(其中a,b,m为正实数,且)
(2)(其中)
(3)(其中)
【分析】由题意建立不等式,利用作差法比较大小即可得证.
【详解】(1)设糖水b克,含糖a克,糖水浓度为,加入m克糖,即证明不等式(其中a,b,m为正实数,且b>a)成立.
不妨用作差比较法,证明如下:
=.
∵a,b,m为正实数,且,,
∴,即.
(2)设原糖水b克,含糖a克,糖水浓度为;另一份糖水d克,含糖c克,糖水浓度为,且,求证:(其中).
证明:,且b>a>0,d>c>0,
,即,
,
即,
,
即
(3)设原糖水b克,含糖a克,糖水浓度为,加入m克水,求证:(其中b>a>0,m>0).
证明:,
题型二:作商法比较两数(式)的大小
【精选例题】
【例1】,则的大小关系为_______.
【答案】≥
【详解】因为,则,
由,所以,故答案为:
【跟踪训练】
1.如果,,那么,,从小到大的顺序是___________
【答案】
【详解】因为三个式子很明显都是负数,所以,所以;同理,所以。
综上:,故答案为:
题型三:利用不等式的性质
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