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2.5曲线与方程(作业)(夯实基础+能力提升)
【夯实基础】
一、单选题
1.(2023·上海·高二专题练习)已知命题“方程的解为坐标的点都是曲线C上的点”是真命题,则下列命题正确的是(????).
A.曲线C上的点的坐标都是方程的解;
B.坐标不满足方程的点不在曲线上;
C.曲线C是方程的曲线;
D.不是曲线C上的点的坐标,一定不满方程.
2.(2023·上海市建平中学高二期末)定义点到曲线的距离为该点到这个曲线上任意点的距离的最小值.已知曲线C:,那么平面内到曲线C的距离与到坐标原点O的距离相等的点的轨迹是(????)
A.双曲线一支 B.一个椭圆
C.一条线段 D.一条射线
3.(2023·上海市进才中学高二期中)平面上同时建立直角坐标系和极坐标系,且以原点为极点,x轴正方向为极轴,则表示相同曲线的一对方程是(????)
A.与 B.与
C.与 D.与
4.(2023·上海市建平中学高二阶段练习)参数方程(为参数)所表示的曲线是(????)
A.圆 B.直线
C.线段 D.射线
5.(2023·上海浦东新·高二期末)已知点P(a,b),曲线,,则“点P(a,b)在曲线C1上”是“点P(a,b)在曲线C2上”的(????)
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
二、填空题
6.(2023·上海市嘉定区第二中学高二阶段练习)已知点在曲线上运动,点为,则中点的轨迹方程是_____________.
7.(2023·上海市建平中学高二阶段练习)已知点A的极坐标为,则它的直角坐标为__________________.
8.(2023·上海交大附中高二阶段练习)极坐标方程化为直角坐标方程是_____.
9.(2023·上海市杨浦高级中学高二期末)极坐标系中,点与点,表示同一个点,则_________.
10.(2023·上海市进才中学高二期末)已知椭圆的参数方程为,则该椭圆的离心率为_______.
11.(2023·上海交大附中高二期中)极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为___________.
12.(2023·上海交大附中高二阶段练习)极坐标系下,若曲线与曲线有公共点,则实数的取值范围是______.
13.(2023·上海市七宝中学高二期中)直线(为参数)的倾斜角为__________
三、解答题
14.(2023·上海师大附中高二期末)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(t为参数),曲线的参数方程为(s为参数).
(1)写出的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,求与交点的直角坐标,及与交点的直角坐标.
【能力提升】
一、单选题
1.(2023·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中)中国结是一种手工编制工艺品,它有着复杂奇妙的曲线,却可以还原成单纯的二维线条,其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上,把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当时的双纽线,P是曲线C上的一个动点,则下列是关于曲线C的四个结论,正确的是(????).
①曲线C关于原点对称
②曲线C上满足的P有且只有一个
③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4
④若直线与曲线C只有一个交点,则实数k的取值范围为
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
2.(2023·上海交大附中高二期末)正方体中,M为的中点,P在底面内运动,且满足,则P的轨迹为
A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
3.(2023·上海·高二专题练习)下面各对方程中,两个方程表示同一曲线的是(????)
A.与 B.与
C.与 D.与
二、填空题
4.(2023·上海理工大学附属中学高二期中)已知的顶点、,若顶点在抛物线上移动,则的重心的轨迹方程为_______
5.(2023·上海市建平中学高二阶段练习)极坐标方程化为直角坐标方程为_________
6.(2023·上海市新场中学高二期中)已知定点和曲线上的动点,则线段中点的轨迹方程是________
三、解答题
7.(2023·上海徐汇·高二期末)已知是圆外一点.
(1)过M作圆O的切线l,求切线l的方程;
(2)过M任意作一条割线,交圆O于AB两点,求弦AB的中点C的轨迹方程.
8.(2023·上海虹口·高二期末)已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆的离心率与抛物线的方程;
(2)过焦点的动直线与抛物线交于,两点,从原点作直线的垂线,垂足为,求动点的轨迹方程;
(3)点为椭圆上的点,设直线与平行,且直线与椭圆交于,两点,若的面积为1,求直线的方程.
9.(2023·上海市建平中学高二阶段练习)已知椭圆的焦点在轴上,且以短轴端点和焦点为顶点的四边形是边
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