第31讲 平面向量常考考点参考答案（解析版）.docx

第31讲平面向量常考考点参考答案

考点一：【精选例题】

【例1】【答案】B【详解】由题得，，故，故与其同方向的单位向量为，

【例2】【答案】D【详解】对于A，当且时，或，A错误；对于B，当时，，B错误；对于C，当时，或，C错误；对于D，当时，，D正确．故选：D．

【跟踪练习】

1．【答案】【详解】因为，所以，则与向量方向相同的单位向量为.

2．【答案】【详解】与反向的单位向量为.

考点二：【精选例题】

【例1】【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得

，所以

【例2】【答案】B【详解】A.因为零向量与任何非零向量共线，故不能作为基底；B.因为，不共线，故能作为基底；C.因为，共线，故不能作为基底；D.因为，共线，故不能作为基底；

【跟踪练习】

1.【答案】A【详解】在中，，.

2.【答案】A【详解】对于A选项，因为，则和共线，A选项不满足条件；

对于B选项，设，则，无解，故和不共线，B选项能作为基底；同理可知和不共线，和也不共线，CD选项均能作为基底.

考点三：【精选例题】

【例1】【答案】【解析】法一：因向量与平行，所以，所以，解得；法二：利用对应系数成比例即可，即，解得

【例2】【答案】A【解析】法一：，，因，，三点共线，所以与共线，所以，所以，解得

法二：由三点共线，得，故解得．

【例3】【答案】B【解析】如下图所示：

，即，，，，，，，、、三点共线，则.，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.

【跟踪练习】

1．【答案】ABD【详解】解：对于A：P是斜边BC上一点，且满足，则，若，，则，又由M、P、N三点共线，可得，所以，故为常数，A选项正确；对于B：，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为3，B选项正确；对于C：

，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，C选项错误；对于D：，，，即当时，的最小值为，D选项正确；

2．【答案】D【详解】对于A项，若三点共线，则有，即，所以，显然不存在满足要求，故A错误；对于B项，若三点共线，则有，即，所以，显然不存在满足要求，故B错误；对于C项，若三点共线，则有，即，所以，显然不存在满足要求，故C错误；

对于D项，，所以和共线，又和有公共点，即三点共线，故D正确；

3．【答案】C【详解】因为与共线，则存在，使得，即，

因为向量、不共线，则，整理可得，即，解得或.

考点四：【精选例题】

【例1】【答案】【解析】法一：由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.

法二：建立直角坐标系，设，则，所以，因为，所以，即，解得：.

【例2】【答案】【解析】方法一：因为，所以，即

所以，所以，所以方法二：因为，所以，所以，即

所以，所以，同理，所以，即，所以，所以，同理，所以，即，所以，所以，所以

【例3】【答案】ACD

【详解】对于A，，，，，故A正确；对于B，，，

，，

，故B错误；对于C，，，，

又，，故C正确；对于D，，，，故D正确.故选：ACD.

【跟踪练习】

1.【答案】【解析】由题意知，即，即

，化简可求得．

本题也可用建坐标系法

【答案】【解析】向量与的夹角为，且所以

．由得，，即

，所以，即

，解得．

考点五：【精选例题】

【例1】【答案】A

【详解】解：

【例2】【答案】A【详解】在中，，，所以，

所以有，与所成的角为120°，所以，

考点六：【精选例题】

【例1】【答案】D【解析】试题分析：如图，过点作于，则，应选D.

【例2】【答案】B【详解】如图所示，过点分别作，，垂足分别为，；则，分别为，的中点，∴，

；又，∴，

∵，∴，，化为①，②，联立①②解得，；∴．故选：B

【例3】【答案】【详解】分别取的中点，连接，因为为的外心，，，，，

，，

【跟踪练习】

1．【答案】C【详解】，设中点为D，BA中点E，因O是△ABC外接圆的圆心，则在方向上的投影向量为,在方向上的投影向量为，则，.故.

2．【答案】A【详解】如图，O为的外心，设为的中点，则,,

3．【答案】

【详解】是外接圆圆心，故，又，即，

，，，两式相加，，显然，否则方程不成立，因为所以可得解得：，

考点七：【精选例题】

【例1】【答案】B【详解】解：因为，，，所以，即，所以，设与的夹角为，则，因为，所以；

【例2】【答案】【解析】因为，，所以，，所以，所以．

【例3】【答案】

【解析】依题意，所以.

【例4】【答案】D【解析】，，，．

，因

【跟踪练习】

1．【答案】A【详解】由，，两式相加，得，所以，，所以，所以.

2．【答案】AD【详解】由于，因此有或解得，

进而由，可得，故，而，故.又，，．故选：AD

3．【答案】AD【详解】对于AB，由得：，，即，，解得：，A正确，B错误；对于CD，，即与的夹角的余弦值为，C错误，D正确.故选：AD.

考点八：【精选例题】

【例1