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第31讲平面向量常考考点参考答案
考点一:【精选例题】
【例1】【答案】B【详解】由题得,,故,故与其同方向的单位向量为,
【例2】【答案】D【详解】对于A,当且时,或,A错误;对于B,当时,,B错误;对于C,当时,或,C错误;对于D,当时,,D正确.故选:D.
【跟踪练习】
1.【答案】【详解】因为,所以,则与向量方向相同的单位向量为.
2.【答案】【详解】与反向的单位向量为.
考点二:【精选例题】
【例1】【答案】A【解析】根据向量的运算法则,可得
,所以
【例2】【答案】B【详解】A.因为零向量与任何非零向量共线,故不能作为基底;B.因为,不共线,故能作为基底;C.因为,共线,故不能作为基底;D.因为,共线,故不能作为基底;
【跟踪练习】
1.【答案】A【详解】在中,,.
2.【答案】A【详解】对于A选项,因为,则和共线,A选项不满足条件;
对于B选项,设,则,无解,故和不共线,B选项能作为基底;同理可知和不共线,和也不共线,CD选项均能作为基底.
考点三:【精选例题】
【例1】【答案】【解析】法一:因向量与平行,所以,所以,解得;法二:利用对应系数成比例即可,即,解得
【例2】【答案】A【解析】法一:,,因,,三点共线,所以与共线,所以,所以,解得
法二:由三点共线,得,故解得.
【例3】【答案】B【解析】如下图所示:
,即,,,,,,,、、三点共线,则.,
当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为,故选:B.
【跟踪练习】
1.【答案】ABD【详解】解:对于A:P是斜边BC上一点,且满足,则,若,,则,又由M、P、N三点共线,可得,所以,故为常数,A选项正确;对于B:,当且仅当,即时等号成立,则的最小值为3,B选项正确;对于C:
,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为,C选项错误;对于D:,,,即当时,的最小值为,D选项正确;
2.【答案】D【详解】对于A项,若三点共线,则有,即,所以,显然不存在满足要求,故A错误;对于B项,若三点共线,则有,即,所以,显然不存在满足要求,故B错误;对于C项,若三点共线,则有,即,所以,显然不存在满足要求,故C错误;
对于D项,,所以和共线,又和有公共点,即三点共线,故D正确;
3.【答案】C【详解】因为与共线,则存在,使得,即,
因为向量、不共线,则,整理可得,即,解得或.
考点四:【精选例题】
【例1】【答案】【解析】法一:由题意可得:,由向量垂直的充分必要条件可得:,即:,解得:.
法二:建立直角坐标系,设,则,所以,因为,所以,即,解得:.
【例2】【答案】【解析】方法一:因为,所以,即
所以,所以,所以方法二:因为,所以,所以,即
所以,所以,同理,所以,即,所以,所以,同理,所以,即,所以,所以,所以
【例3】【答案】ACD
【详解】对于A,,,,,故A正确;对于B,,,
,,
,故B错误;对于C,,,,
又,,故C正确;对于D,,,,故D正确.故选:ACD.
【跟踪练习】
1.【答案】【解析】由题意知,即,即
,化简可求得.
本题也可用建坐标系法
【答案】【解析】向量与的夹角为,且所以
.由得,,即
,所以,即
,解得.
考点五:【精选例题】
【例1】【答案】A
【详解】解:
【例2】【答案】A【详解】在中,,,所以,
所以有,与所成的角为120°,所以,
考点六:【精选例题】
【例1】【答案】D【解析】试题分析:如图,过点作于,则,应选D.
【例2】【答案】B【详解】如图所示,过点分别作,,垂足分别为,;则,分别为,的中点,∴,
;又,∴,
∵,∴,,化为①,②,联立①②解得,;∴.故选:B
【例3】【答案】【详解】分别取的中点,连接,因为为的外心,,,,,
,,
【跟踪练习】
1.【答案】C【详解】,设中点为D,BA中点E,因O是△ABC外接圆的圆心,则在方向上的投影向量为,在方向上的投影向量为,则,.故.
2.【答案】A【详解】如图,O为的外心,设为的中点,则,,
3.【答案】
【详解】是外接圆圆心,故,又,即,
,,,两式相加,,显然,否则方程不成立,因为所以可得解得:,
考点七:【精选例题】
【例1】【答案】B【详解】解:因为,,,所以,即,所以,设与的夹角为,则,因为,所以;
【例2】【答案】【解析】因为,,所以,,所以,所以.
【例3】【答案】
【解析】依题意,所以.
【例4】【答案】D【解析】,,,.
,因
【跟踪练习】
1.【答案】A【详解】由,,两式相加,得,所以,,所以,所以.
2.【答案】AD【详解】由于,因此有或解得,
进而由,可得,故,而,故.又,,.故选:AD
3.【答案】AD【详解】对于AB,由得:,,即,,解得:,A正确,B错误;对于CD,,即与的夹角的余弦值为,C错误,D正确.故选:AD.
考点八:【精选例题】
【例1
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