第15讲 函数与方程7大题型总结（解析版）.docx

第15讲函数与方程7大题型总结

【考点分析】

考点一：函数的零点的概念

①函数零点的定义

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.

②零点存在性定理:

一般地，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根.

注意：连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.

考点二：二分法的概念

①对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

②对于给定精确度，利用二分法求函数零点近似值的步骤如下:

①确定区间，验证，给定精确度;

②求区间的中点;

③计算;

a.若，则就是函数的零点;

b.若，则令(此时零点);

c.若，则令(此时零点).

④判断是否达到精确度，即:若，则得到零点近似值(或);

否则重复②③④.

【题型目录】

题型一：函数的零点所在区间的判断

题型二：判断函数的零点个数

题型三：根据函数图象判断零点大小

题型四：根据函数零点的存在情况求参数

题型五：二分法的应用

题型六：函数等高问题

题型七：函数零点和问题

【典型例题】

题型一：函数的零点区间的判断

【例1】函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先判断出在上是增函数，利用零点存在定理列不等式可求a的范围.

【详解】和在上是增函数，在上是增函数，

只需即可，即，解得．故选：B.

【例2】方程的根所在区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】判断的单调性，结合零点存在性定理判断方程根所在区间.

【详解】由在定义域内递增，且，，

所以，方程的根在区间内.故选：C

【例3】函数的零点所在区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用零点存在定理代入区间端点处的值判断即可得出结果.

【详解】易知函数定义域为，且函数单调递增，

又，所以上没有零点；

，

，由零点存在定理可知，

所以零点所在区间是.

故选：D

【题型专练】

1.函数的零点为，且，，则（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据零点的存在性定理求解.

【详解】因为在单调递增，

且，

即，所以，

故选：C.

2.函数的零点所在的区间为（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【详解】解：因为，，，

所以，所以函数的零点所在的区间为，故选：C．

3.函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，因为函数在区间存在零点，所以，即，解得，所以实数m的取值范围是.故选：B.

4.已知函数，则的零点所在的区间为（????）.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】运用零点存在性定理判断即可.

【详解】因为，，

所以由零点存在性定理知，的零点所在的区间为.

故选：B.

题型二：判断函数的零点个数

【例1】关于x的方程，给出下列四个命题，其中假命题的个数是（????）．

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】分别取、、、计算对应方程的解后可得正确的选项.

【详解】取，则即为，故，解得，故①正确.取，则即为，故，解得，或，故②正确.取，则即为，故，或解得，或，或，故③正确.取，则即为，

故或，解得，或，或，或，故④正确.

故选：A

【点睛】本题考查复合方程的解的个数的讨论，解题关键点是根据复合方程的性质将其转化为简单方程的解，本题属于较难题.

【例2】函数的零点个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】函数，由，可得，作出和的图象，

由图象可得它们有2个交点，则的零点个数为2，故选：C.

【例3】已知函数，则函数的零点的个数是（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【分析】令，根据分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据数形结合即可求出函数的零点个数；

【详解】令．

①当时，，则函数在上单调递增，

由于，由零点存在定理可知，存在，使得；

②当时，，由，解得，．

作出函数，直线，，的图象如下图所示：

??????

由图象可知，直线与函数的图象有三个交点；

直线与函数的图象有两个交点；

直线与函数的图象有且只有一个交点．

综上所述，函数的零点个数为．

故选：D．

【例4】方程，实根的个数为（????）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】C