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第15讲函数与方程7大题型总结
【考点分析】
考点一:函数的零点的概念
①函数零点的定义
对于函数,我们把使的实数叫做函数的零点.
②零点存在性定理:
一般地,如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是的根.
注意:连续不断的函数在闭区间上有零点,不一定能推出.
考点二:二分法的概念
①对于在区间上连续不断且的函数,通过不断把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
②对于给定精确度,利用二分法求函数零点近似值的步骤如下:
①确定区间,验证,给定精确度;
②求区间的中点;
③计算;
a.若,则就是函数的零点;
b.若,则令(此时零点);
c.若,则令(此时零点).
④判断是否达到精确度,即:若,则得到零点近似值(或);
否则重复②③④.
【题型目录】
题型一:函数的零点所在区间的判断
题型二:判断函数的零点个数
题型三:根据函数图象判断零点大小
题型四:根据函数零点的存在情况求参数
题型五:二分法的应用
题型六:函数等高问题
题型七:函数零点和问题
【典型例题】
题型一:函数的零点区间的判断
【例1】函数的一个零点在区间内,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】先判断出在上是增函数,利用零点存在定理列不等式可求a的范围.
【详解】和在上是增函数,在上是增函数,
只需即可,即,解得.故选:B.
【例2】方程的根所在区间为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】判断的单调性,结合零点存在性定理判断方程根所在区间.
【详解】由在定义域内递增,且,,
所以,方程的根在区间内.故选:C
【例3】函数的零点所在区间是(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用零点存在定理代入区间端点处的值判断即可得出结果.
【详解】易知函数定义域为,且函数单调递增,
又,所以上没有零点;
,
,由零点存在定理可知,
所以零点所在区间是.
故选:D
【题型专练】
1.函数的零点为,且,,则(????)
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【分析】根据零点的存在性定理求解.
【详解】因为在单调递增,
且,
即,所以,
故选:C.
2.函数的零点所在的区间为(????)
A.B.C.D.
【答案】C
【详解】解:因为,,,
所以,所以函数的零点所在的区间为,故选:C.
3.函数在区间存在零点.则实数m的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由在上单调递增,在上单调递增,得函数在区间上单调递增,因为函数在区间存在零点,所以,即,解得,所以实数m的取值范围是.故选:B.
4.已知函数,则的零点所在的区间为(????).
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】运用零点存在性定理判断即可.
【详解】因为,,
所以由零点存在性定理知,的零点所在的区间为.
故选:B.
题型二:判断函数的零点个数
【例1】关于x的方程,给出下列四个命题,其中假命题的个数是(????).
①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;
②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;
③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;
④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根;
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
【分析】分别取、、、计算对应方程的解后可得正确的选项.
【详解】取,则即为,故,解得,故①正确.取,则即为,故,解得,或,故②正确.取,则即为,故,或解得,或,或,故③正确.取,则即为,
故或,解得,或,或,或,故④正确.
故选:A
【点睛】本题考查复合方程的解的个数的讨论,解题关键点是根据复合方程的性质将其转化为简单方程的解,本题属于较难题.
【例2】函数的零点个数为()
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】函数,由,可得,作出和的图象,
由图象可得它们有2个交点,则的零点个数为2,故选:C.
【例3】已知函数,则函数的零点的个数是(????)
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】D
【分析】令,根据分别求出函数的零点或零点所在区间,再作出函数的图象,根据数形结合即可求出函数的零点个数;
【详解】令.
①当时,,则函数在上单调递增,
由于,由零点存在定理可知,存在,使得;
②当时,,由,解得,.
作出函数,直线,,的图象如下图所示:
??????
由图象可知,直线与函数的图象有三个交点;
直线与函数的图象有两个交点;
直线与函数的图象有且只有一个交点.
综上所述,函数的零点个数为.
故选:D.
【例4】方程,实根的个数为(????)
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】C
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