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第11讲指数对数函数常考考点题型总结
考点一:指数对数函数的定义域值域问题
【例1】函数的定义域为(????)
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】根据对数的真数大于零,分母不等于零求解即可.
【详解】由,
得,解得且,
即函数的定义域为.
故选:D.
【例2】高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,也称取整函数,例如:,已知,则函数的值域为(????????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】先求解函数的值域,在根据高斯函数的定义确定的值域.
【详解】解:因为,所以,则,所以函数的值域为,故的值域为-1或0.
故选:B
【例3】函数的值域为____.
【答案】
【分析】函数是复合二次函数,换元转化为二次函数值域问题.
【详解】解:令,
函数化为
,即函数的值域为.
故答案为:
【例4】函数的最小值为()
A. B.1 C.2 D.
【答案】D
【解析】令,则,故原函数化为,当时,可得最小值为.故选:D.
【例5】已知函数,,则下列说法正确的是(???????)
A.若函数的定义域为,则实数的取值范围是
B.若函数的值域为,则实数
C.若函数在区间上为增函数,则实数的取值范围是
D.若,则不等式的解集为
【答案】AC
【分析】函数的定义域为等价于恒成立,由此即可列出不等式组,即可求出实数的取值范围;
若函数的值域为等价于的最小值为,由此可列出方程,即可求出实数的值;
若函数在区间上为增函数等价于函数在区间上为增函数且恒成立,由此即可列出不等式组,即可求出实数的取值范围;
若,,即可解出不等式;即可选出答案.
【详解】对于A,因为的定义域为,所以恒成立,则,解得,故A正确;
对于B,因为的值域为,所以的最小值为,所以,解得,故B错误;
对于C,因为函数在区间上为增函数,所以,解得,故C正确;
对于D,当m=0时,,由,可得,解得,故D错误.
故选:AC.
【例6】函数的最小值为.
【答案】/
【分析】利用对数的运算法则与换元法得到,结合配方法即可得解.
【详解】因为,
令,则,则,
因为,当且仅当时,等号成立,
所以的最小值为.
故答案为:.
【跟踪训练】
1.已知函数,的最大值为,最小值为,则.
【答案】
【分析】构造,定义判断奇偶性,利用对称性有,即可求结果.
【详解】令,且,
,
所以为奇函数,且在上连续,
根据奇函数的对称性:在上的最大、最小值关于原点对称,
则,故.
故答案为:
2.设不等式对于任意的恒成立,则实数的取值范围是_______.
【答案】
【分析】参变分离可得,再根据指数函数的性质及二次函数的性质求出的取值范围,即可得解.
【详解】解:由,得,
即,???
,,
则,
,则,即.
故答案为:
3.函数的定义域为,值域为,下列结论中一定成立的结论的序号是(???????)
A. B. C. D.
【答案】ACD
【分析】先研究值域为时函数的定义域,再研究使得值域为得函数的最小值的自变量的取值集合,研究函数值取1,2时对应的自变量的取值,由此可判断各个选项.
【详解】由于,
,,,,
即函数的定义域为
当函数的最小值为1时,仅有满足,所以,故D正确;
当函数的最大值为2时,仅有满足,所以,故C正确;
即当时,函数的值域为,故,故不一定正确,故A正确,B错误;
故选:ACD
4.已知的值域为R,且在上是增函数,则实数a的取值范围是(???????)
A. B.或
C.或 D.
【答案】B
【分析】根据函数的值域为R可得或,利用复合函数的单调性和二次函数的性质可得a的取值范围.
【详解】因为函数的值域为R,
所以取得一切正数,
即方程有实数解,
得,解得或;
又函数在上是增函数,
所以函数在上是减函数,且在上恒成立,
则,解得,
综上,实数a的取值范围为或.
故选:B
5.已知函数,则函数的最小值为(???????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先解的定义域,然后利用换元法求所求函数的值域即可.
【详解】由,
则得,所以的定义域为,
令,故,
,
即,,
当时,的最小值为
函数的最小值为.
故选:A
6.已知函数既没有最大值,也没有最小值,则a的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质求出真数部分的范围,再结合对数函数的性质可得结果.
【详解】由,a不等于0时,,
当得,
二次函数没有最大值,有最小值,
没有最大值,有最小值,不合题意.
当得,,二次函数没有最大值,有最小值,
,没有最大值,没有最小值,
当得,二次函数有最大值,没有最小值,
,有最大值,没有
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