第11讲 指数对数函数常考考点题型总结（解析版）.docx

第11讲指数对数函数常考考点题型总结

考点一：指数对数函数的定义域值域问题

【例1】函数的定义域为（????）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根据对数的真数大于零，分母不等于零求解即可.

【详解】由，

得，解得且，

即函数的定义域为.

故选：D.

【例2】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数:设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如:，已知，则函数的值域为（????????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求解函数的值域，在根据高斯函数的定义确定的值域.

【详解】解：因为，所以，则，所以函数的值域为，故的值域为-1或0.

故选：B

【例3】函数的值域为____.

【答案】

【分析】函数是复合二次函数，换元转化为二次函数值域问题.

【详解】解：令，

函数化为

，即函数的值域为．

故答案为：

【例4】函数的最小值为（）

A． B．1 C．2 D．

【答案】D

【解析】令，则，故原函数化为，当时，可得最小值为．故选：D．

【例5】已知函数，，则下列说法正确的是（???????）

A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是

B．若函数的值域为，则实数

C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是

D．若，则不等式的解集为

【答案】AC

【分析】函数的定义域为等价于恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围；

若函数的值域为等价于的最小值为，由此可列出方程，即可求出实数的值；

若函数在区间上为增函数等价于函数在区间上为增函数且恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围；

若，，即可解出不等式；即可选出答案.

【详解】对于A，因为的定义域为，所以恒成立，则，解得，故A正确；

对于B，因为的值域为，所以的最小值为，所以，解得，故B错误；

对于C，因为函数在区间上为增函数，所以，解得，故C正确；

对于D，当m=0时，，由，可得，解得，故D错误.

故选：AC.

【例6】函数的最小值为．

【答案】/

【分析】利用对数的运算法则与换元法得到，结合配方法即可得解.

【详解】因为，

令，则，则，

因为，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

【跟踪训练】

1.已知函数，的最大值为，最小值为，则.

【答案】

【分析】构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求结果.

【详解】令，且，

，

所以为奇函数，且在上连续，

根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称，

则，故.

故答案为：

2.设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【分析】参变分离可得，再根据指数函数的性质及二次函数的性质求出的取值范围，即可得解.

【详解】解：由，得，

即，???

，，

则，

，则，即．

故答案为：

3.函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（???????）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】先研究值域为时函数的定义域，再研究使得值域为得函数的最小值的自变量的取值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项.

【详解】由于，

，，，，

即函数的定义域为

当函数的最小值为1时，仅有满足，所以，故D正确；

当函数的最大值为2时，仅有满足，所以，故C正确；

即当时，函数的值域为，故，故不一定正确，故A正确，B错误；

故选：ACD

4.已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（???????）

A． B．或

C．或 D．

【答案】B

【分析】根据函数的值域为R可得或，利用复合函数的单调性和二次函数的性质可得a的取值范围.

【详解】因为函数的值域为R，

所以取得一切正数，

即方程有实数解，

得，解得或；

又函数在上是增函数，

所以函数在上是减函数，且在上恒成立，

则，解得，

综上，实数a的取值范围为或.

故选：B

5.已知函数，则函数的最小值为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先解的定义域，然后利用换元法求所求函数的值域即可．

【详解】由，

则得，所以的定义域为，

令，故，

，

即，，

当时，的最小值为

函数的最小值为.

故选：A

6.已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据二次函数的性质求出真数部分的范围，再结合对数函数的性质可得结果.

【详解】由，a不等于0时，,

当得，

二次函数没有最大值，有最小值，

没有最大值，有最小值，不合题意.

当得，，二次函数没有最大值，有最小值，

,没有最大值，没有最小值，

当得，二次函数有最大值，没有最小值，

,有最大值，没有