2024年新高考解答题数列专题训练总结（解析版）.docx

2024年新高考解答题数列专题训练总结

题型一：等差等比基本通向求和公式的应用

【精选列题】

【例1】已知为等差数列的前项和，，．

(1)求；

(2)是否存在最大值？若存在，求出的最大值及取得最大值时的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)；(2)存在，最大值20，或5

【详解】（1）设等差数列的公差为，由，

可得，解得，所以；

（2）又，所以当时，，当时，，所以存在最大值为，取得最大值时或.

【例2】已知等差数列的前项和为，

(1)求和．

(2)若数列成等比数列，且，求

【答案】(1)，；(2)

【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得方程组，解得.

所以，.

（2）由（1）知，所以.因为所以数列的公比.所以，所以.

【例3】已知数列和满足，且满足，，.

(1)求数列、的通项公式；

(2)设数列的前项和为，求当时，正整数的最小值.

【答案】(1)，；(2)

【详解】（1）解：∵，，∴.，，，

因为满足，所以数列为等比数列，等比数列的公比为，，∴.

（2）解：由（1）知，所以，

可化为，，解得，∴正整数的最小值为.

【例4】已知满足，都有，满足，都有，且．

(1)求数列与的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)，；(2)

【详解】（1）因为，都有，令，则，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，∴数列的通项公式，．

因为，都有，令，则，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，∴数列的通项公式；

（2）∵，∴；

【跟踪训练】

1.已知与都是正项数列，的前项和为，，且满足，等比数列满足，．

(1)求数列，的通项公式；

(2)记数列的前n项和为，求满足不等式的自然数n的最小值．

【答案】(1)；(2)8

【详解】（1）解：∵，∴两式相减得：化简得：

∵为正项数列，且∴，，即为首项为1，公差为1的等差数列，∴又∵，，为等比数列，设其公比为，

∴，解得或，而为正项数列，故，.

综上，数列，的通项公式分别为.

（2）解：记，的前项和分别为由等差数列及等比数列的前项和公式可知

∴

易知，作差可得：即当时，单调递增，当时，，当时，∴的最小值为8.

故满足不等式的自然数的最小值为8.

2.在数列中，，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)；(2)

【详解】（1），，，则，数列是以为首项的等比数列，设其公比为，则，解得：，.

（2）由（1）得：，，

.

3．设等比数列满足，．

(1)求的通项公式；

(2)记为数列的前项和．若，求的值．

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）设等比数列的公比为，根据题意，有，解得，

所以．

（2）令，所以，根据，可得，整理得，因为，所以．

4.已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，，，．

(1)若，且等比数列的公比大于0，求和的通项公式；

(2)若，求．

【答案】(1)，；(2)或

【详解】（1）设的公差为d，的公比为q，，则，．联立，即，因为，解得，所以，.

（2）设的公差为d，的公比为q.当时，，不满足题意，所以.

所以，，整理可得，解得，或.??当时，，由，得，所以，故；

当时，，由，得，所以，故.

考点二：证明数列为等差，等比问题

【精选列题】

【例1】设为数列的前项和，已知，．

(1)证明：数列为等比数列；

(2)判断，，是否成等差数列并说明理由．

【答案】(1)证明见解析；(2)成等差数列，理由见解析.

【详解】（1）因为，，则，解得，因此，，而，

所以是首项为2，公比为2的等比数列.

（2）由（1）知，，即，因此，于是，所以，，成等差数列.

【例2】记为数列的前n项和．

(1)从下面三个条件中选一个，证明：数列是等差数列；

①；②数列是等差数列；③数列是等比数列．

(2)若数列为等差数列，且，，求数列的前n项和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)证明见解析；(2)

【详解】（1）选择条件①：因为，所以，，两式相减可得，

即，所以，两式相减可得，化简可得，

所以，所以数列是等差数列．

选择条件②：设数列的首项为，公差为p，则，故．当时，，当时，，所以，又当时，．所以数列是等差数列．

选择条件③：因为数列是等比数列，所以，即，所以．

所以数列是等差数列．

（2）因为数列是等差数列，且公差，所以．

所以．故

．

【例3】已知数列满足，.

(1)设，证明：是等差数列；

(2)设数列的前项和为，求.

【答案】(1)证明见解析；(2)

【详解】（1）因为，所以数列是以1为公差的等差数列

（2）因为，所以，由得?????????????????????????????????????????

故，?所以?????????????????????????????????

【例4】已知数列和数列满足：，，，.

(1)求证：