第十章-计数原理-复习讲义.doc

第1节分类加法计数原理与分步乘法

◆考纲·了然于胸◆

1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．

2．能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．

[要点梳理]

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

原理

异同点

分类加法计数原理

分步乘法计数原理

定义

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法

完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法

区别

各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事

各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才能做完这件事

质疑探究：计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？

提示：如果的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一局部，用分步乘法计数原理．

[小题查验]

1．从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，那么不同的选法种数为()

A．6B．5C．3D．2

2．4封不同的信投入3个不同的信箱中，所有投法的种数是()

A．7B．12C．34D．43

3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有()

A．50个B．45个C．36个D．35个

4．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，那么不同的选法共有________种(用数字作答)．

5．如下图，

在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．

考点一分类加法计数原理(根底型考点——自主练透)

[方法链接]

(1)运用分类加法计数原理解决问题就是将一个比拟复杂的问题分解为假设干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．

(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个适合的分类标准；②完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．

提醒：对于分类问题所含类型较多时也可以考虑使用间接法．

[题组集训]

1．(2016·临沂模拟)A与B是I＝{1,2,3,4}的子集，假设A∩B＝{1,2}，那么称(A，B)为一个理想配集，假设将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是()

A．4B．8C．9D．16

2．如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)．

3．椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1，2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆的个数为________．

考点二分步乘法计数原理(重点型考点——师生共研)

【例1】集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，那么

(1)P可表示平面上________个不同的点；(2)P可表示平面上________个第二象限的点.

【名师说“法”】

利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：

(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．

(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．

(3)对完成各步的方法数要准确确定．

跟踪训练

(1)设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，那么A*B中元素的个数是()

A．7B．10C．25D．52

(2)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．

考点三两个原理的综合应用(高频型考点——全面开掘)

[考情聚焦]

两个原理的应用类型主要有：(1)涂色问题；(2)几何问题；(3)集合问题．

角度一涂色问题

涂色问题大致有两种解答方案：

(1)选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行计数；

(2)根据涂色时所用颜色数的多少，进行分类处理，这时用分类加法计数原理进行计数．

1．如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D4块区域分开，假设相邻区域不能涂同一种颜色，那么涂色方法共有________种(用数字作答)．

2．如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四局部，现用5种不同颜色给四局部涂色，每局部涂1种颜色，要求共边的两局部颜色互异，那么共有________种不同的涂色方法．

角度二几何问题

主要与立体几何、解析几何相结合