五章可压缩流动差分解法.pptx

第五章可压缩流动的差分解法

一、非定常无粘性流动微分方程（Euler方程）一维问题方程类型的判断矩阵A有３个特征值dx/dt=u、u+a、u-a，且为线性无关的实数，所以该微分方程组类型为双曲型。

守恒型方程将方程组形式改为守恒（散度）型：

类似地，二维问题可表示成：F可表示成U的函数：

当，有差分方程：差分方程迎风格式可压缩非定常无粘流动的微分方程为双曲型，与对流方程相同，故适用于对流方程的CFL条件和差分格式也可用在这里。

Lax格式与守恒型微分方程组对应的差分方程为：Lax-Wendroff格式根据Taylor展开，略去三阶以上的小量，并将时间导数变换为空间导数，得到对应的差分方程为：其中，或者

多步显式格式两步Lax-Wendroff格式MacCormack格式Lax格式蛙跳格式FTFS格式FTBS格式，再取平均

特征型差分沿特征线构造差分，以对流方程为例：PRQTSi-1inn+1△t△xθOxt△S

综合为：取PQ=△S，关于S的微分方程对应的差分方程为：即为迎风格式：

推广至双曲型方程组的特征型差分。优点：除间断部分需用间断条件，其余都可用特征型差分格式；缺点：须将微分方程化为特征型，要解联立方程。

激波和人工耗散激波拟合法/装配法（shockfitting）基本思想：激波把求解域分为两个或者多个子域，激波作为各子域边界的一部分，激波的两侧通过Rankine-Hugoniot关系相联系。优点：可以比较准确地计算出激波位置和光滑区的流场；缺点：计算过程比较复杂，较难应用到存在比较复杂的激波的流场中，不易设计通用的计算软件。

过渡层Oux激波涂抹法/捕捉法（shockcapturing）基本思想：在计算包含激波的流场时，采用统一的计算格式，不对激波进行任何特殊处理。优点：编程计算比较简单，且可以适用于具有任意激波结构（包括激波的产生、运动、消失等各种情况）的流场计算；缺点：激波不再是理想的间断，而是厚度为一至数个网格宽度的连续变化的结构；另外，由于激波内部流场的梯度较大，常规的计算格式或者会把激波抹平，或者在激波附近产生虚假数值振荡。

加人工粘性的方法在1950年由vonNeumann和Richtmyer提出，其微分方程的形式是在原Euler方程中用p+q代替p：c为调节常数，一般取1.5~2.0。上式一般可使激波过渡层保持在3~4个网格宽度内。流动连续，无激波流动不连续，有激波

边界条件：速度、密度、温度滑移固壁：如势流中的固壁、对称面；无滑移固壁。根据网格结点定义的不同方式（如物理量定义在网格交叉点上，或网格形心处，或是两者的组合），可分别给出适当的边界条件的差分方程。

二、定常跨音速势流微分方程取z轴垂直向上的右手坐标系。设来流速度为V∞，扰动速度分量为u′、v′、w′，对应的扰动速度势为φ′。假设：|u′|、|v′|、|w′|V∞，即为小扰动；M∞2V∞/|u′|，M∞为来流Ma数，即非高超音速。推导得定常跨音速小扰动速度势的微分方程为：

方程类型的判断椭圆型抛物型双曲型当M1时流动存在特征线，由于是小扰动，这些特征线非常接近于当地马赫锥面。V∞aO马赫角马赫锥面

中心式：迎风式：流场判别M∞M1亚M1超M1亚音速线M=1激波线M1

中心式≥0＜0迎风式≥0＜0＜0≥0判别亚音速点激波点超音速点音速点将流场状态与试算结合，可以组合成四种情况。jj-1j+1ii-1i+1

亚音速点：差分方程：以x-z平面上的二维情况为例以x-z平面上的二维情况为例，其微分方程为：

超音速点：音速点：微分方程简化为激波点：同亚音速点一样作差分处理

三、定常二维/轴对称超音速势流微分方程：属于双曲型方程，并有两族特征线，可采用特征线解法。OxyC-C+μμθ+μθ-μθstreamlineP3P1P2

流动角：沿特征线速度分量u和v满足相容性方程：马赫角：当地音速：δ=0：二维流动；δ=1：二维轴对称流动

已知两点1、2的位置和流速，可得未知点3的特征线方程及相容性方程为：OxyC-C+312

差分解法不采用固定网格，沿特征线做向前差分多步差分格式：预测-校正计算

采用固定网格逐步迭代法、内插法OxyC-C+ba12cBDFACE3

边界点的计算对称轴上结点OxyC-对称轴S13已知条件：

固壁上结点OxyC+固壁：y=f(x)23已知条件：OxyC+固壁：y=f(x)232′C-1x3、y3已知

自由边界上结点OxyC+自由边界f231p0已知条件：自由面f上压强等于外部压强p0；自由面f为流线。