第20讲 导数的极值4种常考考点（解析版）.docx

第20讲导数的极值4种常考考点

【考点分析】

考点一：函数的驻点

若，我们把叫做函数的驻点．

考点二：函数的极值点与极值

①极大值点与极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作，其中叫做函数的极大值点

②极小值点与极小值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作，其中叫做函数的极小值点

考点三：求可导函数极值的步骤

①先确定函数的定义域；

②求导数；

③求方程的根；

④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.

注意：可导函数在满足是在取得极值的必要不充分条件，如，，但不是极值点.

【典例例题】

考点一：求函数的极值与极值点

利用导数求函数极值的步骤如下：

（1）求函数的定义域；（2）求导，通分，能分解就分解因式；

（3）解方程，当；（4）列表，分析函数的单调性，求极值：

①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；

②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值

【精选例题】

【例1】已知函数，那么的极大值是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对求导可得，再令求极值点，讨论单调性即可求出的极大值.

【详解】函数为，令可得当时，；

当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

故选：A.

【例2】对于函数，下列说法正确的是（）

A．单调递减区间是 B．有最小值e

C．有极小值e D．有最大值e

【答案】C

【分析】根据题意利用导数判断原函数单调性，并结合图象逐项分析判断.

【详解】令，解得且，所以函数的定义域为，

对于选项A：因为，，

令，解得；由，解得或；

则在和上单调递减，在上单调递增，故A错误；

对于选项C：由选项A可得：当时，取得极小值，且，故C正确；

对于选项B、D：当时，则，可得，

且当趋近于0时，趋近于0，当趋近于时，趋近于；

当时，由选项A可得，

且当趋近于1时，趋近于，当趋近于时，趋近于，

如图所示：

????

所以无最小值，无最大值，故B、D错误，

故选：C．

【例3】若函数，下面结论中正确的是（????）

A．为奇函数 B．当时，有极大值

C．在单调递减 D．

【答案】ABD

【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用导数研究函数在上的单调性，可判断B选项；利用导数与函数单调性的关系可判断CD选项.

【详解】函数定义域为，

对于A，，则为奇函数，A正确；

对于B，当时，，，

当时，，单增，当时，，单减，

则时，有极大值，B正确；

对于C，当时，，，单增，C错误；

对于D，由上知，在单调递增，则，

又，则，D正确.

故选：ABD.

【例4】已知函数，则下列结论正确的是（????）

A．在处得到极大值 B．在处得到极大值

C．在处得到极小值 D．在处得到极小值

【答案】C

【分析】利用导数求函数极值即可.

【详解】由，且，

所以时，递减，时，递增，

所以在处得到极小值.

故选：C

【例5】已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数求出函数的极小值点，可得出，再利用诱导公式可求得的值.

【详解】因为，则，

由，即，可得，

由，即，可得，

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，函数的极小值点为，

将函数所有极小值点从小到大排列成数列，

则，，易知数列为等差数列，

且数列的公差为，则，

因此，.

故选：D.

【例6】设函数，则（????）

A．函数的单调递减区间为．

B．曲线在点处的切线方程为．

C．函数既有极大值又有极小值，且极大值大于极小值．

D．若方程有两个不等实根，则实数的取值范围为．

【答案】D

【分析】根据导数的运算法则及初等函数的导数公式，利用导数值的定义及求过点处的切线方程的步骤，结合导数法求函数的极值的步骤及将方程有两个不等实根转化为与有两个交点，再利用数形结合即可求解.

【详解】由题意可知的定义域为，

，

令，即，解得或

当时，

当时，

所以在和上单调递增，在和上单调递减.

故A错误；

当时，取得极大值为，

当时，取得极小值为，

因为，所以极大值小于极小值，故C错误；

对于B，切线斜率，

曲线在点处的切线方程为，

即，故B错误；

对于D，由上分析可作出的图象如图所示

要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点，

由图可知，，

所以实数的取值范围为.故D正确.

故选：D.

【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用求过点处的切线方程的方法及零点的存在性定理判断方程的根，再利用导数法求函数的极值及作出函数的大致图象，将方程有两个不等实根转化为与有两个交点即可.

【跟踪训练】