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解例5考察函数当时的极限。由图1-8可知因为，所以不存在。图1-8三、极限的性质定义4称实数集为点a的邻域，记作，a称为邻域的中心，δ称为邻域的半径。数集称为点a的去心δ邻域，记作。性质1（唯一性）若，则极限A唯一。性质2（局部有界性）若，则存在常数及，当时，有。性质3（保号性）若且（或），则存在常数，当时，有（或）。1.极限的概念知识目标：了解极限的概念；小结§1-3极限的运算内容提要极限的四则运算法则极限运算举例两个重要极限极限的四则运算法则一设，则：1．2．3．4．（k为常数）5．类型一（代入法）解例1求：由例1可知，对于多项式，当时的极限有当有意义时，例2求：解类型二当时，例3求：解因为，则不能用商的极限四则运算法则，而，由无穷大与无穷小的关系，可。例4求：解类型三（型）当时，通过变换化为类型一求极限。例5求：解例6求：解类型四（型）将型经过通分转化为型求极限。例7求：解类型五（型）分子、分母同除以分子、分母的最高次幂，并利用无穷小求极限。一般地，对于分式有理函数，当时，极限有如下结论：其中，m，n为非负整数。二、两个重要极限1．第一重要极限下面我们列表取值来观察时，函数的变化趋势，如表1-1所示。表1-1由表1-1可以看出，当x越接近于0，函数的值就越接近于1，由此可以证明此公式的特征是：（2）正弦符号后面的变量与分母一致，这个一致的变量趋于0。（1）分子、分母的极限均为0，即型；我们形象地将公式表示为（方框表示同一变量）。例8求下列函数的极限：（1）（2）（3）解（1）（2）（3）引例5【符号函数】如图1-1所示图1-13．函数的表示法在函数的定义中，并没有具体规定用什么方法表示函数。为了能更好地研究函数，就应该采用适当的方法将其表示出来，函数的表示法通常有三种，即解析式法、表格法和图像法。4．函数的几种特性（1）有界性若存在正数M，使得函数在某区间I上恒有，则称函数在I上有界，否则称函数在I上无界。若函数在I上有界，则其图像在直与之间，显然，若函数有界，则其界不唯一。例如，正弦函数