《常见信号的傅里叶级数展开式》.pptx

《电力应用数学》

常见信号的

傅里叶级数展开式

主讲人：王玲

(新课导入】

(新课讲授】(课堂小结】

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【新课导入】

核成水利的力地的技研车的

□

在信号分析与处理，特别是工程中，对于周期信

号的处理通常采用傅里叶级数展开来进行分析，即频

率分析法。

依据信号傅里叶级数展开相关理论，我们来学习几种常见

信号的傅里叶级数展开式。

新课导入

5

【新课讲授】

表束水利的力地的技研车的

D

A

由傅里叶系数所确定的三角级数

称为函数f(x)的傅里叶级数。

若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f(x),则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。

按照傅里叶级数展开法，任何一个满足狄里赫利条件的非正弦周期函数都可以分解为一

个恒定分量与无穷多个频率与非正弦周期信号频率的整数倍、不同幅值的正弦分量的和。

一、傅里叶展开式的定义

一、傅里叶展开式的定义

式中,T为/(t)的周期，ao、ag、bx为傅里叶系数。它们的计算公式如下：

把式(1)中同频率的正弦项与余弦项合并，就得到傅里叶级数的另一种表达式：

(2)

(3)

式(4)中A₀为常数项，它为非正弦周期函数一周期内的平均值，它与时间无关，称为直流分量。k=1项表达式

为Anmsin(wt+φ₁),此项频率与原非正弦周期函数f(t)的频率相同，称为f(t)的基波；A₁为基波的振幅，φ1为基波

的初相位。k≥2各项统称为f(t)的高次谐波，并根据分量的频率式基波的k倍，称为k次谐波，如2次谐波、3次谐

9k称为k次谐波的振幅及初相位。

一、傅里叶展开式的定义

式中

(4)

下面介绍电气电子工程中常见的几种典型信号的傅里叶级数展开式，在实际工程中可直接对照其波

形查出展开式。

如图所示，其傅里叶级数展开式为：

f(t)=Amsinwt

二、常见的傅里叶级数展开式

有效值为整流平均值：

(一)周期正弦波

常见的傅里叶级数展开式

(二)全波整流波

有效值为整流平均值：

如图所示，其傅里叶级数展开式为：

常见的傅里叶级数展开式

(三)半波整流波

如图所示，其傅里叶级数展开式为：

整流平均值：

有效值为

(四)周期矩形波

(1)双向矩形脉冲波

常见的傅里叶级数展开式

如图所示为周期对称方波信号，是周期矩形信号的一种特殊情况。

对称方波信号有两个特点：

常见的傅里叶级数展开式

有效值为：Am整流平均值：Am

(1)双向矩形脉冲波

(四)周期矩形波

其傅里叶级数展开式为：

k=1,3,5,

常见的傅里叶级数展开式

u(t)

Am

t

0T/23T/2

如图所示，其傅里叶级数展开式为：

(四)周期矩形波

(2)单向矩形脉冲波

k=1,3,5,……

常见的傅里叶级数展开式

如图所示，其傅里叶级数展开式为：

整流平均值

有效值为

(五)周期锯齿波

k=1,3,5,……

如图所示，其傅里叶级数展开式为：

k=1,3,5,……

常见的傅里叶级数展开式

(六)周期三角波

整流平均值：

有效值为

常见的傅里叶级数展开式

如图所示，其傅里叶级数展开式为：

(七)梯形波

k=1,3,5,……

整流平均值：

有效值为

查谐波函数：是/(O)=-f((+)的函数，这种函数前半周的波形移动半个周期，与后半周的波形互为镜像，即横

轴对称，所以也叫镜像对称于横轴的函数。上述讨论的矩形波、三角波、梯形波都是奇谐波函数。奇谐波函数的傅里叶级数中不含直流分量和偶次谐波，只含奇次谐波。

偶函数：是f(t)=f(-t)的函数，它的波形对称于纵轴。上述讨论的全波整流波、半波整流波都是偶函数。偶函数的

傅里叶级数中不含正弦项，即bx=0。

奇函数：是f()=-f(-t)的函数，它的波形对称于原点。上述讨论的矩形波、三角波、梯形波都是奇函数。奇函数

的傅里叶级数中只有正弦项，没有直流分量和余弦项，即ao=0、ak=0。

二、常见的傅里叶级数展开式

(八)周期函数的对称性

周期函数具有某种对称性时，其傅里叶系数中不含某些谐波：

(八)周期函数的对称性

【例】试把振幅为100V、T=0.02s的三角波电压分解为傅里叶级数(取到5次谐波为止)

常见的傅里叶级数展开式

=(81.06sin100πt-9sin3×100πt+3.24sin5×100πt)(V)

解