第三节　函数的奇偶性与周期性.pptxVIP

第三节函数的奇偶性与周期性;1．函数的奇偶性

;;3．奇偶性的六个重要结论：

(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．;(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．

(6)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．;5．函数对称性问题的结论：

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．;D;2．(基础知识：奇函数定义)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则f(－1)＝________.

3．(基本应用：奇偶性应用)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，则a＝________.

;(0,0);C;B;B;C;解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)·g(x)是奇函数，故选项A错误；对于选项B，|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|·g(x)是偶函数，故选项B错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)·|g(x)|是奇函数，故选项C正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)·g(x)|是偶函数，故选项D错误．;方法总结

1．函数y＝f(x)具有奇偶性，首先其定义域必须关于原点对称，这样f(x)与f(－x)才有意义．

2．对一个函数而言，其奇偶性结果为：是偶函数，是奇函数，既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数，必居其一．

;3．判定奇偶性的方法：

(1)定义法：

确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．

(2)图象法：

(3)性质法：利用奇偶性的运算关系判断．;A;方法总结

1．若函数的最小正周期为T，在图象上表现为每隔T个单位，图象相同，只是位置不同，在函数值上表现为f(x＋T)＝f(x)．

当x不属于所给定区间时，利用f(x＋T)＝f(x)将f(x)转化，故首先确定f(x)的周期T.

;2．求函数周期的方法：

;方法;2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．

;解析：因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，

则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.

又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，

故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个．

;3．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在[0,2]上为增函数，若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为________________．

;f(x)＝log2(3－x);解析：令x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，结合题意可得f(x)＝f(－x)＝log2(－x＋1)，

令x∈[1,2]，则x－2∈[－1,0]，

故f(x)＝log2[－(x－2)＋1]＝log2(3－x)，

故函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)＝log2(3－x)．

;方法总结

在哪个区间上求解析式，就设x在哪个区间上，利用奇偶性或周期性关系，将x变到已知区间上，再代入解析式进行转化．

;D;D;方法总结

挖掘函数性质，综合应用，将所求函数值转化：

根据周期性，将f(x)转化为f(x＋T)；

根据奇偶性，将f(x)转化为±f(－x)；

根据关于直线x＝a对称，