七年级数学竞赛专题练习31讲 第 5 讲 探索、猜想与归纳.docxVIP

第5讲探索、猜想与归纳

一、填空题(每题5分，共50分)

1.观察以下等式：32?12=8,52?12=24,72?12=48,92?12=80,.·,由以上规律可以得出第n个等式为.

2.观察下列砌钢管的横截面图(见图5-1)：

则第n个图的钢管数是(用含n的式子表示).

3.将边长分别为1、1、2、3、5的正方形依次选取2个、3个、4个、5个拼成矩形，如图5-2所示，按规律依次记作矩形①、矩形②、矩形③、矩形④.若继续选取适当的正方形拼成矩形，那么按此规律，则矩形⑧的周长为.

4.图5-3所示图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，……，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为.

5.在1，2，3，…，39，40数列中能找出对数字使它们的差的绝对值为质数.

6.若规定:①{m}表示大于m的最小整数,例如:{3}=4,{-2.4}=-2;②[m]表示不大于m的最大整数,例如:[5]=5,[--3.6]=--4,则使等式2{x}---[x]=4成立的整数x=.

7.下面是按一定规律排列的一列数：

第1个数:1

第2个数:1

第3个数:1

…

第n个数:1

那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是第个数.

8.有依次排列的3个数：3，9，8.对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，-1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，—10，—1，9，8，继续依次操作下去，那么从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和为.

9.一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳4个单位，第3次向右跳9个单位，第4次向左跳16个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是个单位.

10.一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”.例如，16=52?32就是一个“杨梅数”.则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”为.

二、解答题(每题10分，共50分)

11.已知一列数按如下规律排列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项为2o，接下来的两项为2o、21，再接下来的三项为2o、21、22，依此类推.

(1)第10个1是这列数的第几项?

(2)该列数的第2020项为多少?

12.把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图5-4所示的三角形数表(每行比上一行多一个数).设aijij

(1)若a??=2020,,求i、j的值.

(2)记三角形数表从上往下数第n行各数的和为(b?,令cn=1,n=1nbn?n

13.将数字1、2、5、4、6填入图5-5中的小圆圈中.从1开始顺时针依次数两个数字可产生5个两位数12、25、54、46和61.从1开始逆时针依次数两个数字可产生另5个两位数16、64、45、52和21.

(1)验证:22+252+542+462+612=162+642+452+522+212.

(2)对任意5个不等的非零数字a、b、c、d、e，可以生成10个两位数abbccd,

请证明：

14.设x1

1

2

3

求x1

15.已知有限张卡片，每张卡片上各写有一个小于30的正数，所有卡片上数的和为1080.现将这些卡片按下列要求一批一批地取走(不放回)直至取完.首先从这些卡片中取出第一批卡片，其数字之和为S?,满足S?≤120,且S?要尽可能地大；然后在取出第一批卡片后，对余下的卡片按第一批的取卡要求构成第二批卡片(其数字之和为S?);如此继续构成第三批(其数字之和为S?);；第四批(其数字之和为S?)；……直到第n批(其数字之和为，S?)取完所有卡片为止.

(1)判断S1

(2)当in=1,2,3,?,N?2时，求证：S

(3)对于任意满足条件的有限张卡片，证明：N≤11.

第5讲探索、猜想与归纳

一、填空题(每题5分,共50分)

1.【答案】2n+1

【解析】通过观察可发现等式左边为从3开始的连续奇数与1的平方差，则第n个等式左边为2n+12?12,

2.【答案】3nn+12或

【解析】本题可先依次列出n=1