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第23讲估计和估算
一、填空题(每题5分,共50分)
1.设a、b是正整数,且满足56≤a+b≤59,0.9ab0.91,
2.已知△ABC中,AB=2,BC=9,若AC的长是奇数,则AC=.
3.设S=113
4.若正整数n可以等于4个不同的正整数的倒数之和,则这样的n有个.
5.将若干由1开始的连续自然数写在纸上,然后删去其中一个数,则余下的数的平均数为101035,
6.已知0a1,且满足a+130+
7.已知S=12006+
8.某班学生不超过50人,其中女生a人,男生b人,且满足47a=1
9.已知x、y是非负整数,且使x?12=4?y
10.瓦夏的生日在2月23日,这一天他收到了777颗巧克力,瓦夏打算n天内吃完它们,并且每一天都比前一天多吃一粒.则n的最大可能值是.
二、解答题(每题10分,共50分)
已知|x|≤3,|y|≤1,|z|≤4,且|x-2y+z|=9,求x2y2?1?z3的值.
12.设a、b、c是互不相同的非零数字(即个位数),试求表达式的最大可能值.
第23讲估计和估算
一、填空题(每题5分,共50分)
1.【答案】9.
【解析】由题设可得0.9b+b59,0.91b+b56,则29b32,从而b=30或31.
当b=30时,由0.9ba0.91b,得27a28,这样的正整数a不存在;
当b=31时,由0.9ba0.91b,得27a29,故a=28.
因此,a2?2ab+b2=
2.【答案】9.
【解析】设AC=2n+1,n为自然数,则依“三角形中任意两边之和大于第三边”,可得2n+1+29,2n+19+2,即
3.【答案】4.
【解析】因为1k3
所以1S=1+12
所以44S5,因此4S的整数部分为4.
4.【答案】1.
【解析】设n=1a+1b+1c+1d,且abcd.若a≥3,则
若a=2,则n=12+
故n只能为1,且1=
5.【答案】1819.
【解析】设所写的数为1,2,…,n,删去的数为x(1≤x≤n),则余下的平均数为
1+2+3+?+n
因为1+2+3+?+n
即
所以2019
所以n=2020或2021.
当n=2020时,x为非整数,舍去;
当n=2021时,x=1819.
因此,删去的那个数是1819.
6.【答案】6.
【解析】因为0a+130a+2
由题设条件可知,其中有18个等于1,所以
a+
a+
所以0a+
所以18≤30a19,即6≤10a19
7.【答案】134.
【解析】因为3404=15×
所以133
因此,S的整数部分是134.
8.【答案】45.
【解析】由47a=12b可得
因为a和a+b均为正整数,故a必须被7整除.当a=21时,a+b=42+3=45,且2a50,即a25,所以该班最多为45人.
9.【答案】(3,1),(1,4).
【解析】因为x、y是非负整数,又x?12
由4?y3
当y=1时,依x?12=4?y3
当y=4时,依x?12=4?y3
10.【答案】37.
【解析】如果瓦夏第一天吃了a颗巧克力,那么在连续的n天中,一共吃了a+(a+1)+(a+2)+?+a+n?1=n2a+n?1
注意,1554=2×3×7×37,可知可以整除1554的小于40的最大整数为37,所以n=37.
二、解答题(每题10分,共50分)
11.【答案】—576.
【解析】由于|x|≤3,|y|≤1,|z|≤4,于是|x-2y+z|≤|x|+2|y|+|z|≤3+2+4=9,可见为使|x-2y+z|=9,需有|x-2y+z|=|x|+2|y|+|z|=3+2+4,显然只有当x、z与—2y同号时,等式才成立.
当x=3,z=4,y=-1时,.x2y2?1?z3=?576;
当x=-3,z=-4,y=1时,x2y2?1?z3=?576.
12.【答案】最大比值为1:203,在a=2,b=9,c=1时达到.
【解析】由于a、b、c都是不大于9的正数,所以对任何a和c,都有
因此,如果a和c为不同的非零数字,则右端表达式在如下两个情况之一中达到最大值:(1)a=1,c=2;(2)a=2,c=1.经过验证,可知
因此,19×203
13.【答案】能.
【解析】假设呆瓜现有的3根短棍长度分别为x?≥x?≥x?,板斧现有的3根短棍长度分别为
y?≥y?≥y?.由于呆瓜现有的3根短棍不能构成三角形,所以x?≥x?+x?,假设板斧现有的3根短棍也不能构成三角形,则有y?≥y?+y?,二式相加,得
x?+y
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