七年级数学竞赛专题练习31讲 第 27讲 数的整除性.docxVIP

第27讲数的整除性

一、填空题(每题5分，共50分)

1.使得:n2+3可被n+3整除的所有正整数n的和是.

2.11个女孩与n个男孩找蘑菇，共找到n2+9n?2个，若每个人找到的一样多，则男孩的人数是.

3.李明写了几个质数，若从1到9的每个数码都刚好用了一次，则这几个质数的和的最小值为.

4.若六位数1234xy能被8和9整除,则x2+y2

5.已知两位数ab能整除十位数字为零的三位数a0b,，且ab，则满足题设要求的ab有

6.如果由1~6这6个数字组成一个没有重复数字的六位数abcdef,使得4个三位数abc、bcd,

7.将正整数N接写在每个正整数的后面，如果得到的新数都能被N整除，那么称N为“魔术数”.小于2020的正整数中“魔术数”的个数有个.

8.对于整数p，通过划去它的数字，不能得到可被11整除的数，则这样p的最大正整数为.

9.若a、b、c、d都是整数，则不能表示为2a?2

10.若质数p与q具有如下性质:7p+1可被q整除,且7q+1可被p整除.则p与q构成的整数对(p，q)有对.

二、解答题(每题10分,共50分)

11.证明：当且仅当整数A被划去个位数后得到的数加上个位数的4倍能被13整除时，A能被13整除.

12.圆周上依次写下了2019个数字(都是0~9的整数)，已知从某一位置开始顺时针方向读出这些数字，得到的2019位数能被27整除.证明：从任何一个位置开始按顺时针方向读出这些数字所得的2019位数，都能被27整除.

13.已知1+12+1

14.m×n的矩形被分割为如图27-1所示一系列角状形：

试证明：a型与b型角状形的数目之差能被3整除.

15.试对每个质数p找出p！的最大方幂数，使得(p2!

一、填空题(每题5分，共50分)

1.【答案】13.

【解析】由于n2+3可被n+3整除，不妨设n2+3=(n+3)·A,A为整式.

注意到n2+3=(n+3)(n-3)+12,故(n+3)(n-3)+12=(n+3)·A,即(n+3)(A-n+3)=12.

从而(n+3)|12,又因为n+33,所以n+3=4、6或12,即n=1、3或9.

因此，n2+3可被n+3整除的所有正整数n的和为13.

2.【答案】9.

【解析】由于各个孩子采到的蘑菇数目一样多，故孩子的总数n+11能整除蘑菇的总数n2+9n?2=(n+11)(n-2)+20,从而n+11整除20.由于n+1111,故n只能是9.

3.【答案】207.

【解析】要使这几个质数的和最小，所有的偶数，除了数字2，都应当位于十位上面(否则相应的数不是质数)，其余的数则应都是个位.枚举可知这几个质数可为2、3、5、41、67、89或2、3、5、47、61、89或2、5、7、43、61、89,都能取到最小值207.

4.【答案】64.

【解析】由题意可知,整数x、y满足0≤x,y≤9.因为六位数1234xy能被8整除,所以8|(400+10x+y),即8|(2x+y),所以2x+y=8、16、24.因为六位数1234xy能被9整除,所以9|(1+2+3+4+x+y),即9|(1+x+y),所以x+y=8、17.若x+y=8,则2x+y=8或2x+y=24,故x=8,y=0或x=16,y=—8,不符合题意,舍去.

若x+y=17,则2x+y=24,故x=7,y=10,不符合题意，舍去.

因此，.x2+y2=64.

5.【答案】3.

【解析】由题意可知,(10a+b)|(100a+b),因为100a+b=90a+(10a+b),所以(10a+b)|90a.注意到90a=2×32×5×a,且0ab≤9,根据枚举法可知，当a=1时，符合条件的两位数ab=15或18；当a=4时，符合条件的两位数ab

6.【答案】324561.

【解析】根据整除的性质可得

d=5,c+e=410,

d+f-e=0,

10b+c=4m(m=3,4,5,…).

因为1≤a,b,c,d,e,f≤6,d+f--e=0,且d=5,所以e=6,f=1.

又因为c+e=410,所以c=4,又因为1b+c=4m,可得b=2,故a=3.

因此abcdef

7.【答案】11.

【解析】设“魔术数”为k位数，M为任意一个正整数，则MN

根据题意可知，N|MN

当k=1时,N=1,2,5;

当k=2时,N=10,20,25,50;

当k=3时,N=100,125;

当k=4时,N=1000,2000,5000.

因此，