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第4讲代数式

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用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫作代数式.单独的一个数或一个字母，像一1、0、a、x等也是代数式，这里“用运算符号连接”一般指加、减、乘、除、乘方.

将日常生活的语言转化为数学语言，就是要会列出代数式；另外也要理解代数式的含义，会求代数式的值.

用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程.具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值.

经典例题解析

【例4-1】a、b是有理数.

(1)若a+b=0,则a、b互为.

(2)若ab=0,则a、b至少.

(3)若ab=1,则a、b.

(4)若ab0,则a、b.

(5)若a2+b2=0,,则a、b.

解(1)若a+b=0,则a、b互为相反数.

(2)若ab=0,则a、b至少有一个等于零.

(3)若ab=1,则a、b互为倒数.

(4)若ab0,则a、b的符号相同.

(5)若a2+b2=0,则a、b都等于零.

神经用数学语言——代数式和数学符号来表达日常生活语言，是学好数学的一项重要的基本功.要培养数学语言和日常生活语言“互译”的能力.

【例4-2】浓度为p%的盐水mkg与浓度为q%的盐水nkg混合后的溶液浓度是().

Ap+q2%(B)(mp+nq)%C

解浓度为p%的盐水mkg中含盐m×p%kg,浓度为q%的盐水nkg中含盐n×q%kg,混合溶液共(m+n)kg,含盐((m×p%+n×q%)kg,所以浓度是mp+nqm+n

【例4-3】如图4-1所示是一个长为a、宽为b的矩形.两个阴影图形分别是长为c的底边在矩形对边上的一个平行四边形和一个矩形，则矩形中未涂阴影部分的面积为().

(A)ab--(a+b)c(B)ab-(a-b)c

(C)(a-c)(b-c)(D)(a-c)(b+c)

解将图形未涂阴影部分先沿左右平移，得到两个长方形，再沿上下平移，可以得到一个长为(a-c)、宽为(b—c)的长方形，其面积为(a—c)(b-c)，这也就是未涂阴影部分的面积，故选C.c

c

【例4-4】a表示一个两位数，b表示一个四位数，把a放在b的左边组成一个六位数，那么这个六位数应表示成().

(A)ab(B)10000a+b

(C)100a+10000b(D)100a+b

解依题意，在这个六位数中，a的个位数字是在万位上，所以这个六位数应表示成10000a+b,故选B.

评注一个n位自然数的十进制表示法一般形式是

an

其中a?(i=1,2,…,n)是一位数.有时也根据需要写成100a+b(b是两位数),1000a+b(b是三位数)等形式.

【例4-5】民航规定：旅客可以免费携带akg物品，若超过akg，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为bkg(ba)时,所交费用为Q=10b—200(元).

(1)小明携带了35kg物品，质量大于akg，他应交多少费用?

(2)小王交了100元费用，他携带了多少千克物品?

(3)若收费标准以超重部分的质量mkg计算，在保证所交费用Q元不变的情况下，试用m表示Q.

解(1)当携带的物品质量b=35kg时,应交的费用为Q=35×10—200=150(元),所以小明应交150元.

(2)设小王携带了xkg物品,则10x—200=100,解得x=30.

所以，小王携带了30kg物品.

(3)已知最多可以免费携带akg物品,则10a-200=0,解得a=20.

所以超重部分的质量为m=b-a=b-20,即b=m+20.

故所交费用为Q=10b-200=10(m+20)-200=10m(元).

【例4-6】设多项式ax?+bx3+cx+d=M.已知当x=0时,M=-5;当x=-3时,M=7;当x=3时,求M的值.

解由题意知，当x=0时，(ax?+bx3+cx+d=?5,所以d=-5.

当x=—3时,ax?+bx3+cx+d=7,即(?3?a+?33b+?3

当x=3时,M=3?α+33b+3c?5=?12?5=?17.

【例4-7】如果a2+a?1=0,那么a3+2a2+2的值为.

解法1因为a2+a=1,于是有

a3+2a2+2=a3+α2

=

解法2因为(a