初中七年级数学竞赛培优专题31讲第 13讲相交线与平行线.docxVIP

第13讲相交线与平行线

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1.相交线

两条直线相交，得到四个角，其中有一条公共边的两个角互为邻补角；而没有公共边的两个角叫作对顶角，对顶角相等.

两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角，那么这两条直线互相垂直.垂线有如下性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线内各点的连线中，垂线段最短.

2.平行线

在同一平面内没有公共点的两条直线是平行线.经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行.本节的重点是平行线的判定和性质：

(1)同位角相等，两直线平行；反之，两直线平行，同位角相等.

(2)内错角相等，两直线平行；反之，两直线平行，内错角相等.

(3)同旁内角互补，两直线平行；反之，两直线平行，同旁内角互补.

经典例题解析

【例13-1】求证：成对顶角的两个角的平分线在同一直线上.

证明如图13-1所示,AB、CD相交于O,则∠AOC与∠BOD成对顶角.设OE、OF分别为∠AOC、∠BOD的平分线.

因为∠AOE=∠EOC,∠BOF=∠FOD,且∠AOC=∠BOD,所以∠AOE=∠BOF.

又因为∠BOF+∠FOD+∠DOA=180°,所以∠AOE+∠FOD+∠DOA=180°,即∠EOF=180°.

所以OE、OF在同一直线上.

【例13-2】如果一个角的两条边分别同另一个角的两条边互相平行，那么这两个角之间有什么关系?

解这两个角相等或互补.

(1)当组成这两个角的两对射线方向对应相同或相反时，这两个角相等，如图13-2中，∠1=∠2.

(2)当组成这两个角的两对射线，一对方向对应相同，另一对方向相反时，这两个角互补.如图13-3中,∠1+∠2=180°.

【例13-3】如图13-4所示,两直线AB、CD平行,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=().

(A)630°(B)720°(C)800°(D)900°

解如图13-5所示，分别过E、F、G、H作AB、CD的平行线，则相邻两条平行线之间的一对同旁内角之和是180°,共有5对同旁内角,所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=900°,故选D.

【例13-4】如图13-6所示,已知AB//ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D.证明:β=2α.

证明如图13-7所示,过点C作CF∥AB,则CF∥AB∥ED,所以α=∠A+∠E=180°,β=∠B+∠C+∠D=(∠B+∠1)+(∠2+∠D)=360°.

所以β=2α.

【例13-5】如图13-8所示,已知AD⊥BC,EF⊥BC,∠BEF=∠ADG,求证:DG∥BA.

证明因为AD⊥BC,EF⊥BC,,所以EF∥AD.

从而∠BEF=∠BAD.

因为∠BEF=∠ADG,所以∠ADG=∠BAD.

故DG∥BA.

【例13-6】如图13-9所示,六条直线满足a?∥a?,a?∥a?,a?、a?、a?交于一点，则图中同旁内角的对数是.

解一个“三线八角”的图形是由两条被截直线和一条截线组成，其中有两对同旁内角.下面我们先按截线来分类计算“三线八角”的图形的个数：

①截线为a?,被截直线可为a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?,共有5个“三线八角”的图形.

②截线为a?,被截直线可为a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?，共有6个“三线八角”的图形.

③截线为a?，同①，共有5个“三线八角”的图形.

④截线为a?，同②，共有6个“三线八角”的图形.

⑤截线为a?,被截直线可为a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?，共有9个“三线八角”的图形.

⑥截线为a?，被截直线可为a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?,a?、a?,共有10个“三线八角”的图形.

所以一共有5+6+5+6+9+10=41个“三线八角”的图形，从而有82对同旁内角.

【例13-7】平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°，请说明理由.

解任取一点O，过O作5条直线分别与已知的5条直线平行.所得的5条直线将O点处的周角分为10个角，其中必有一个≤360

【例13-8】(1)请你在平面上画出6条直线(没有3条共点)，使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法.

(2)能否在平面上画出7条直线(任意3条都不共点)，使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交?如果能，请画出一例；