初中七年级数学竞赛培优专题31讲第 28 讲 带余数除法.docxVIP

第28讲带余数除法

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(1)对于整数a、b,a除以b的商为整数q,余数为r,则a=bq+r(0≤rb).

(2)两个整数被同一个整数m除所得的余数相同，称为同余，记作a≡b(modm)，同余有如下简单性质：

①如果a≡b(modm),那么m|(a-b),反之,如果m|(a-b),那么有a=b(modm).

②如果a≡b(modm),b≡c(modm),那么a≡c(modm).

③如果a≡b(modm),c≡d(modm),那么a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm),ac≡bd(modm).

(3)一个整数按其被正整数n所除得到的余数有n种：0，1，2，…，n—1.我们将余数相同的归为一类，称为剩余类.

本讲常用的解题方法、技巧有：

(1)在带余数除数的问题中，要注意被除数、除数、商数和余数的关系，经常用到恒等变形的方法技巧.

(2)整数的末位数字实际上是它被10除所得的余数，末位数问题要注意运用余数问题的方法解决，正整数幂的末位数周期性变化的规律需要注意.

(3)按余数对整数分类讨论，是处理整数问题的重要方法，其中奇偶分析是特例.

(4)在运用抽屉原理来处理整数问题时，经常利用剩余类来构造“抽屉”.

经典例题解析

【例28-1】甲、乙、丙三个数分别是312、270、211,用正整数A分别去除这三个数,除甲所得余数是除乙所得余数的2倍，除乙所得余数是除丙所得余数的2倍，求这个正整数A.

解设用正整数A分别去除这三个数所得到的商是q?、q?和q?，余数是4r、2r和r，则有312=Aq

2×②—①,得228=A

2×③—②,得152=A

而228=22×3×19,152=23×19.

所以A可能的取值是2、4、19、38、19×22.

经检验，19是唯一解.

【例28-2】小明将164个桃子分给一群猴子，余下的几个留给了自己.每只猴子得到了数目相同的桃子，小明留给自己的桃子数是一只猴子的1/4.问：共有多少只猴子?

解设有n只猴子，小明留给自己p个桃子，每只猴子分到了4p个桃子.则

164--p=4pn.①

由式①得p(4n+1)=164.

注意,4n+1被4除的余数是1,而164=4×41,164被4除的余数是1的非1因数只有41,所以4n+1=41.解得n=10.故共有10只猴子.

评注例28-2中,由式①可知,p是4的倍数.令p=4p?,则41?p?=4p?n,41?p?是4的倍数.令p?=4k+1,,则40-4k=4(4k+1)n,即n=

因为n是正整数,所以k=0.当k=0时,n=10.

【例28-3】一支总人数是5的倍数且不少于1000的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游行队伍的人数最少是多少?

纷析我们用综合法来探求本题的解题途径，依题意可设总人数为5p(暂不考虑“不少于1000”这一条件)，按每排4人编队最后“差3人”，可理解为“多1人”；同理，按每排3人编队“差2人”，每排2人编队“差1人”都可理解为“多1人”，由整数的整除性可知，5p分别被4、3、2除时均余1，故5p—1是12的倍数，循此思路，可得出结果.

解设总人数为5p(p为正整数),由题设可知,5p分别被4、3、2除时均余1,即5p-1是12的倍数，于是可令5p-1=12q(q为正整数)，因此得

p=12q+1

式①中使p为正整数的最小q值为2，于是，可令q=5r+2(r为正整数)，代入式①得p=12

5p=25+60r.②

依题意,得25+60r≥1000,所以r≥1000?25

【例28-4】证明：对任意正整数k，2k—1和2k+1两个数中，至少有一个不能等于两个整数的平方和.

证明假设命题不成立，则两奇数2k—1和2k+1必都等于一奇数和一偶数的平方和，于是存在整数m、n、p、q，使得2k—1=(2m+1)2+(2n)2,2k+1=(2p+1)2+(2q)2.

两式相加，得4k=2m+12+

等式右边是4的倍数，而左边不是4的倍数，矛盾.

所以假设不成立，即2k—1和2k+1两个数中，至少有一个不能等于