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高中圆锥曲线练习题

一、选择题

1.下列关于圆锥曲线的说法，正确的是（）

A.抛物线的焦点到准线的距离等于其半通径

B.椭圆的长轴一定是x轴

C.双曲线的实轴一定是x轴

D.所有圆锥曲线的离心率都大于1

2.已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，则其离心率为（）

A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

C.$\frac{\sqrt{7}}{4}$

D.$\frac{\sqrt{11}}{4}$

3.抛物线$y^2=8x$的焦点坐标是（）

A.(2,0)

B.(2,0)

C.(0,2)

D.(0,2)

4.双曲线$\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1$的实轴长是（）

A.2a

B.2b

C.2a+2b

D.2a2b

二、填空题

1.椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（ab0），则其离心率为______。

2.抛物线$y^2=4px$的焦点坐标为______。

3.双曲线$\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1$的渐近线方程为______。

4.已知椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，则其长轴与短轴的比值为______。

三、解答题

1.已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，求椭圆的焦点坐标、离心率和实轴长。

2.已知抛物线的方程为$y^2=16x$，求抛物线的焦点坐标、准线方程和焦距。

3.已知双曲线的方程为$\frac{x^2}{9}\frac{y^2}{16}=1$，求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程。

4.设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（ab0）的离心率为$\frac{1}{2}$，求椭圆的方程。

5.已知点A在抛物线$y^2=8x$上，点B在准线上，且AB为抛物线的通径，求点A和点B的坐标。

四、综合题

1.在直角坐标系中，点P在椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上，点Q在抛物线$y^2=4x$上，且OP=OQ（O为坐标原点）。求线段PQ的中点坐标。

2.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1$的一个焦点为F，直线l经过F且与双曲线的渐近线平行，求直线l的方程。

3.在椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$上任取一点M，过M作x轴的垂线，垂足为N。求线段MN长度的最大值。

4.已知抛物线$y^2=2px$（p0）的焦点为F，直线l过F且与抛物线相交于A、B两点。若AF=3FB，求直线l的斜率。

五、探究题

1.设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（ab0）的离心率为e，探究e与a、b之间的关系。

2.已知抛物线$y^2=4ax$（a0）的焦点为F，探究过F的直线与抛物线相交所得线段长度的最小值。

3.在直角坐标系中，探究是否存在一个双曲线，使得它的两个焦点到原点的距离之和等于8，且离心率为2。

4.设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（ab0）的短轴端点为B，过B的直线与椭圆相交于A、C两点。探究当直线AC的斜率变化时，线段AC长度的变化规律。

六、应用题

1.在一个平面直角坐标系中，有一块椭圆形的草坪，其方程为$\frac{x^2}{50}+\frac{y^2}{25}=1$。现要在草坪上建一个矩形花坛，使得花坛的两个顶点在椭圆的长轴上，另外两个顶点在短轴上。求矩形花坛的最大面积。

2.某抛物线形拱桥的跨度为10米，拱顶距水面的高度为6米。一只小船从拱桥的一侧出发，沿直线划行至拱桥的另一侧。求小船通过拱桥时，船底与水面的最短距离。

3.在一个平面直角坐标系中，有一个双曲线形的花坛，其方程为$\frac{x^2}{9}\frac{y^2}{16}=1$。现要在花坛内种植一种植物，要求这种植物的种植区域为矩形，且矩形的对角线经过双曲线的右焦点。求矩形种植区域的最大面积。

答案

一、选择题

1.A

2.C

3.A

4.A

二、填空题

1.$\sqrt{1\frac{b^2}{a^2}}$

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