初中七年级数学竞赛培优专题31讲第19讲 一次不等式.docxVIP

第19讲一次不等式(组)的概念和解法

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1.不等式的基本性质

ab?ba(反射性).

ab且bc?ac(传递性).

ab?a+cb+c(加法的单调性).

ab,c0?acbc;ab,c0?acbc(乘法的单调性).

ab,ab0?1

ab0,n为正整数?a?b?(乘方法则).

ab0,n为正整数?n

2.数的大小比较的方法

(1)比差法:若A-B0,则AB.

(2)比商法：当A、B同为正数时，若AB

3.不等式和不等式组的解法

解含有字母系数的不等式和含绝对值符号的不等式，要注意分类讨论.

注意运用“夹逼法”解题：就是把一个要求值的式子进行适当的放缩，将其夹在放缩后的两个式子中，从而依据题设要求，“逼出”符合条件的值.例如若有a≤x≤a，则x=a.

经典例题解析

【例19-1】如果不等式组9x?a≥0,8x?b0

(A)17(B)64(C)72(D)81

解因为9x?a≥0,8x?b0,所以

又因为x的整数值仅为1、2、3，所以0a

所以a的整数值为9个，b的整数值为8个.适合这个不等式组的整数a、b的有序数对(a,b)共有72对,故选C.

【例19-2】已知关于x的不等式(2a-b)x+a-5b0的解是x10

Ax?35Bx?35

解因为(2a-b)x+a-5b0,所以(2a-b)x5b-a.

又因为不等式的解是x107,

所以5b?a

所以2a?b=7

故ax+b0的解集为x?b

【例19-3】解关于x的不等式组:ax?48?3ax,

解原不等式组可化为2ax3.

(1)当a0时,2

(2)当a=0时，原不等式组无解.

(3)当a0时,3

【例19-4】已知三个非负数a、b、c满足3a+2b+c=5和2a+b-3c=1,若m=3a+b—7c，求m的最大值、最小值.

解由3a+2b+c=5,2a+b?3c=1,3a+b?7c=m,得上一

解得?

【例19-5】已知a+b+c=0,abc,则ca的取值范围是

解显然a0，所以1+

从而1?1?ca

【例19-6】解绝对值不等式:|x-5|--|2x+3|1.

解令x-5=0,或2x+3=0,得x=5,或x=?3

原不等式的解由下面三个不等式组的解的全体组成：

1

2

3

由(1)得x-7,由(2)得13

所以原不等式的解为x-7或x

【例19-7】一般地,对任意的实数x,可记x=[x]+{x}.其中,符号[x]叫作x的整数部分,表示不大于x的最大整数,例如[3]=3,[3.14]=3,[-3.14]=-4;符号{x}叫作x的小数部分,即0≤x1,例如{3.14}=0.14,{—3.14}=—0.86.试求x,使得13x+5

解设[x]=t.则t是整数,且0≤x-t1,则t=

于是0≤100?5t13?t1,解得

从而x=

评注在含有符号[x](即x的整数部分)的问题中，运用性质(0≤x?x

【例19-8】求满足下列条件的最小正整数n，对于n存在最小正整数k，使815n

解因为815nn+k7

显然,n8,当n取9,10,…,14时,k都取不到整数,当n取15时,907

所以满足条件的最小正整数为n=15，k=13.

强化训练

一、选择题

1.不等式19+43

Ax6115Bx1561

2.如果关于x的不等式(2m—n)x+m—5n0的解集为x10

AxnmBx35

3.设a、a、b、b是实数,且a和a不为零,当且仅当()时,ax+b=0的解小于ax+b

AababBa

4.不等式|x||x+5|的解集是().

Ax52Bx52

5.若正数a、b、c满足不等式116

(A)abc(B)bca(C)cab(D)acb

二、填空题

6.已知关于x的不等式2m+x3≤4mx?12的解是

7.如果关于x的不等式ax+3≥0的正整数解为1、2、3，那么a的取值范围是.

8.已知1.011?≈1.1045,则不等式1+22%×10000?10x1+1%

9.若关于x的不等式1—|x|ax的解集中有无穷多个整数，则实数a的取值范围为.

10.若使关于x的不等式ax?12?a≥x成立的x的最大值是—