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第3讲有理数的运算
知识方法扫描
在初中数学学习的开始阶段,由相反意义的量引入了负数的概念,将我们所学习过的数扩展到了有理数.
有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它不仅要求同学们在理解有理数的有关概念和运算法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算,还要善于根据题目条件,选择合理而又简捷的算法来解决问题,从而提高运算的速度和准确性.
经典例题解析
【例3-1】计算:1—2+3—4+…+1993—1994=.
解法1原式=(1-2)+(3-4)+…+(1993-1994)
=(-1)+(-1)+…+(-1)
=--997.
解法2原式=(1+2+3+4+…+1993+1994)-2×(2+4+…+1994)
=(1+2+3+4+…+1993+1994)-4×(1+2+…+997)
=
=1995×997—1996×997
=—997.
评选在有理数的运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,找出其中的规律,使复杂的问题变得较简单.
【例3-2】计算:1
=.
解原式=
=
=
=612.5.
【例3-3】计算:1
解原式=
=
=104÷(99+1)
=1.04.
狭理直接计算比较烦琐,例3-3采用逆用分配律并从整体考虑的方法使计算变得简单.
【例3-4】计算:12+
解设1
原式=b
神连解答例3-4使用的是换元法,即将题中某些相同的式子用字母表示,从整体考虑,从而可以减少计算过程的书写量.
【例3-5】有理数2006×200520052005200620062006+
解原式=2006×
=2005+
=2005+
=2005+
=2005+2
=2007.
【例3-6】计算:1
解原式=
=
=
———21.
停驻例3-6使用的方法叫作拆项法,其目的是使加数中出现一些互为相反数的项,这样便可以相互抵消,这种方法在有理数巧算中是一种很常用的方法.
【例3-7】计算:2?
解法1原式=
=
=
=
…
=23?22+2
=22+2
=6.
解法2设S=2
则2S=2
式②一式①,得、S=22??22.
故原式=2?
=2?S+22?=2?22?+22+22?=6.
评选例3-7解法2常被称为错位相减法,是处理此类问题的常见方法.
【例3-8】电子跳蚤落在数轴上的某点k?,第一步从k。向左跳1个单位到k?,,第二步由k?向右跳2个单位到k?,第三步由k?向左跳3个单位到k?,第四步由.k?向右跳4个单位到k?,……,按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点k???所表示的数恰是19.94.则电子跳蚤的初始位置k。点所表示的数是.
解设k。点表示的有理数为x,则kk?,k?,…,k???点所表示的有理数分别为x?1,x?1+2,x-1+2-3,…,x-1+2-3+4-…-99+100.
由题意得x-1+2-3+4-…—99+100=19.94,解得x=-30.06.
强化训练
一、选择题
1.计算2856
(A)2000(B)2001(C)2002(D)2003
2.化简繁分数?1?1?2+3
A25
3.2003减去它12?,再减去剩余13?,再减去剩余14?,依次类推,一直减去剩余7
(A)-1(B)1(C)-2(D)2
4.已知则abc=().
(A)-1(B)3(C)-3(D)1
5.1?1
A12005B12004
二、填空题
6.计算:1
7.计算:1+12
8.计算:1
9.出租车司机小李某天下午运营全是在东西走向的人民大道进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天下午运营情况(单位:km)依次为:
+15,-3,+14,-11,+10,-12,+4,--15,+16,-18.
(1)将最后一名乘客送到目的地时,小李距下午出车地点的距离是km;
(2)若汽车耗油量为aL/km,则这天下午汽车共耗油L.
10.已知S=12?
三、解答题
11.计算:1
2
12.从1到1980共有1980个正整数,将它们按顺序分组,每四个数一组.第一组的正整数前面添加
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