初中七年级数学竞赛培优专题31讲第8讲 一元一次方程的应用.docxVIP

第8讲一元一次方程的应用

知识方法扫描

应用题是数学竞赛题中的热门题型，它涉及的数学知识较多，综合性强，解法灵活，是开发学生智力、增强学生应用数学意识、培养学生分析解决问题能力与逻辑思维能力和创造能力的好素材.解决数学应用题的关键是从实际的数学问题中抽象出数学模型，把反映现实世界的实际问题转化为数学问题来解决，但不要局限于几种题型.

1.直接设未知数

应用题往往题目较长，要读懂题意，找出已知和未知，紧抓题目中的等量关系，直接设未知数，通过等量关系列出方程或方程组，从而解决问题.

2.设间接未知数

有些应用题，直接设未知数不易求解，则可以采取间接设未知数的方法，即所设的不是所求的，但与所求的未知量有一定的联系，求出些量后，便能顺利地求出题目中的未知量，这样可以使解题更加方便.

3.设辅助未知数

应用题目涉及的类型很多，有些比较复杂的问题，设直接或间接未知数都很难解决，而此时设辅助未知数，依题意就能列出方程或方程组，从而解决问题.辅助未知数起着桥梁的作用，设了这个辅助未知数，但并不一定求它，往往是直接相约或相消，有时要经过变形才能消法，即“设而不求”.

4.图形、表格分析法

有些复杂的应用题，已知量、未知量较多，而且它们之间的关系又较为复杂，通过构造图形、表格能直观地反映已知、未知及它们之间的相互关系，从而很轻松地解决问题.

5.整体思想

若把几个未知量看作一个整体，从整体的角度来考虑问题，可以减少未知量的个数，能达到化繁为简的目的.

经典例题解析

【例8-1】一个工程队承包甲、乙两项工程，甲工程的工作量是乙工程工作量的两倍.前半个月全体工人都在甲工地工作，后半个月工人分成相等的两组，一组仍在甲工地工作，另一组到乙工地工作.一个月后，甲工程完成，而乙工程的剩余量刚好够一个工人一个月的工作量.如果每个工人的工作效率都相同，问：这个工程队有多少个工人?

解设这个工程队有x个人，每个工人每月的工作量为1，则甲工程的工作量为x2+12

依题意，得x2

答：这个工程队有8个工人.

【例8-2】某人走进一家商店，进门付1角钱，然后在店里购物花掉当时他手中钱的一半，走出商店又付1角钱；之后，他走进第二家商店付1角钱，在店里花掉当时手中钱的一半，走出商店付1角钱；他又走进第三家商店付1角钱，在店里花掉当时他手中钱的一半，出店付1角钱；最后，他走进第四家商店付1角钱，在店里花掉当时他手中钱的一半，出店付1角钱，这时他一分钱也没有了，该人原有钱的数目是角.

解设该人原有钱x角，他在进第二家商店前花掉了1+x?12+1=x+32角，剩下x—x+32=x?32角；他在进第三家商店前花掉了x+32

停车例8-2可以逆推出结果，因为在第四家商店购物花掉当时的一半钱后，只剩一角钱，故在进第四家商店前只剩1+2×1=3角钱，依此逆推得结果.

【例8-3】一罐咖啡甲、乙两人一起喝10天喝完，甲单独喝则需12天喝完；0.5kg茶叶甲、乙两人一起喝12天喝完，乙单独喝则需20天喝完.假设甲在有茶叶的情况下绝不喝咖啡，而乙在有咖啡的情况下绝不喝茶.问：两人一起喝完0.5kg茶叶和一罐咖啡需要多少天?

解设乙单独喝咖啡要x天喝完，甲单独喝茶要y天喝完，则有

1

解得x=60,y=30.

所以30天后，甲喝完茶叶而乙只喝掉半罐咖啡，剩下半罐咖啡两人同喝要5天喝完，故共需35天.

【例8-4】中学生运动会五羊赛区男、女运动员比例为19：12.组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男、女运动员比例变为20：13；后来又决定增加男子象棋项目，于是这个比例再变为30：19.已知男子象棋运动员比女子艺术体操运动员多30人，那么最后运动员总人数为().

(A)7000(B)6860(C)6615(D)6370

解男、女运动员比例从19:13=380:240变为20:13=380:247,再变为30:19=390:247,于是可设男运动员原有380x人，女运动员原有240x人，那么最后男、女运动员人数变为390x人和247x人，依题意得

(390x-380x)-(247x-240x)=30.

解得x=10,所以最后运动员总人数为(390+247)×10=6370,故选D.

【例8-5】在某种浓度的盐水中加入一杯水后得到新盐水，它的浓度为20%，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的质量相等的纯盐后，盐水浓度变为313

(A)23%(B)25%(C)30%(D)32%

解设原盐水质量为a，浓度为x，则原盐水含盐量为ax，并设“