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第8讲一元一次方程的应用
知识方法扫描
应用题是数学竞赛题中的热门题型,它涉及的数学知识较多,综合性强,解法灵活,是开发学生智力、增强学生应用数学意识、培养学生分析解决问题能力与逻辑思维能力和创造能力的好素材.解决数学应用题的关键是从实际的数学问题中抽象出数学模型,把反映现实世界的实际问题转化为数学问题来解决,但不要局限于几种题型.
1.直接设未知数
应用题往往题目较长,要读懂题意,找出已知和未知,紧抓题目中的等量关系,直接设未知数,通过等量关系列出方程或方程组,从而解决问题.
2.设间接未知数
有些应用题,直接设未知数不易求解,则可以采取间接设未知数的方法,即所设的不是所求的,但与所求的未知量有一定的联系,求出些量后,便能顺利地求出题目中的未知量,这样可以使解题更加方便.
3.设辅助未知数
应用题目涉及的类型很多,有些比较复杂的问题,设直接或间接未知数都很难解决,而此时设辅助未知数,依题意就能列出方程或方程组,从而解决问题.辅助未知数起着桥梁的作用,设了这个辅助未知数,但并不一定求它,往往是直接相约或相消,有时要经过变形才能消法,即“设而不求”.
4.图形、表格分析法
有些复杂的应用题,已知量、未知量较多,而且它们之间的关系又较为复杂,通过构造图形、表格能直观地反映已知、未知及它们之间的相互关系,从而很轻松地解决问题.
5.整体思想
若把几个未知量看作一个整体,从整体的角度来考虑问题,可以减少未知量的个数,能达到化繁为简的目的.
经典例题解析
【例8-1】一个工程队承包甲、乙两项工程,甲工程的工作量是乙工程工作量的两倍.前半个月全体工人都在甲工地工作,后半个月工人分成相等的两组,一组仍在甲工地工作,另一组到乙工地工作.一个月后,甲工程完成,而乙工程的剩余量刚好够一个工人一个月的工作量.如果每个工人的工作效率都相同,问:这个工程队有多少个工人?
解设这个工程队有x个人,每个工人每月的工作量为1,则甲工程的工作量为x2+12
依题意,得x2
答:这个工程队有8个工人.
【例8-2】某人走进一家商店,进门付1角钱,然后在店里购物花掉当时他手中钱的一半,走出商店又付1角钱;之后,他走进第二家商店付1角钱,在店里花掉当时手中钱的一半,走出商店付1角钱;他又走进第三家商店付1角钱,在店里花掉当时他手中钱的一半,出店付1角钱;最后,他走进第四家商店付1角钱,在店里花掉当时他手中钱的一半,出店付1角钱,这时他一分钱也没有了,该人原有钱的数目是角.
解设该人原有钱x角,他在进第二家商店前花掉了1+x?12+1=x+32角,剩下x—x+32=x?32角;他在进第三家商店前花掉了x+32
停车例8-2可以逆推出结果,因为在第四家商店购物花掉当时的一半钱后,只剩一角钱,故在进第四家商店前只剩1+2×1=3角钱,依此逆推得结果.
【例8-3】一罐咖啡甲、乙两人一起喝10天喝完,甲单独喝则需12天喝完;0.5kg茶叶甲、乙两人一起喝12天喝完,乙单独喝则需20天喝完.假设甲在有茶叶的情况下绝不喝咖啡,而乙在有咖啡的情况下绝不喝茶.问:两人一起喝完0.5kg茶叶和一罐咖啡需要多少天?
解设乙单独喝咖啡要x天喝完,甲单独喝茶要y天喝完,则有
1
解得x=60,y=30.
所以30天后,甲喝完茶叶而乙只喝掉半罐咖啡,剩下半罐咖啡两人同喝要5天喝完,故共需35天.
【例8-4】中学生运动会五羊赛区男、女运动员比例为19:12.组委会决定增加女子艺术体操项目,这样男、女运动员比例变为20:13;后来又决定增加男子象棋项目,于是这个比例再变为30:19.已知男子象棋运动员比女子艺术体操运动员多30人,那么最后运动员总人数为().
(A)7000(B)6860(C)6615(D)6370
解男、女运动员比例从19:13=380:240变为20:13=380:247,再变为30:19=390:247,于是可设男运动员原有380x人,女运动员原有240x人,那么最后男、女运动员人数变为390x人和247x人,依题意得
(390x-380x)-(247x-240x)=30.
解得x=10,所以最后运动员总人数为(390+247)×10=6370,故选D.
【例8-5】在某种浓度的盐水中加入一杯水后得到新盐水,它的浓度为20%,又在新盐水中加入与前述“一杯水”的质量相等的纯盐后,盐水浓度变为313
(A)23%(B)25%(C)30%(D)32%
解设原盐水质量为a,浓度为x,则原盐水含盐量为ax,并设“
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