七年级数学竞赛专题练习31讲 第 12讲 图形的计数.docxVIP

第12讲图形的计数

一、填空题(每题5分,共50分)

1.三边均为整数且周长为10的不全等的三角形共有个.

2.4×4的方格挖去左上角和右下角两个方格后，则剩余的图形中以小方格的各边组成的正方形有个.

3.将正7边形的所有对角线连起来，有个以正7边形的边和对角线为边构成的钝角三角形.

4.图12-1中有个长方形.

5.数一数图12-2中有条线段.

6.数一数图12-3中有条线段，个三角形，个梯形.

7.观察图12-4所示图形:

根据图(a)、(b)、(c)的规律,图(d)中三角形的个数为.

8.把一张纸剪成5块，从所得纸片中取出若干块，每块再剪成5块，再从以上所有纸片中取出若干块，每块再剪成5块，……这样类似地进行，剪完某一次后停止，共得纸片块数大于等于2006，小于等于2009，则最后的纸片数为.

9.图12-5中共有个梯形.

10.图12-6中共有个三角形.

二、解答题(每题10分,共50分)

11.把正方形的每条边3等分，则以这些分点(不包括正方形的顶点)为顶点的三角形共有多少个?

12.今有长度分别为1，2，3，…，9的线段各一条，可用多少种不同的方法，从中选出若干条，使它们能围成一个正方形?

13.在3×3的方格表中选出一些方格，使得在选出的方格中不存在3个方格同行、同列，或在同一对角线上.这样的选法有多少种?

14.在3×4的方格表中选出3个方格，使得这3个方格任意两个没有公共点，不同的选法有多少种?

15.将一个正六面体的骰子的每个面染上红、黄、蓝三种颜色之一，共有多少种不同染法(旋转后相同的染法认为是同一种染法)?

一、填空题(每题5分，共50分)

1.【答案】2.

【解析】此问题是找所有这样的三元组(a，b，c)，满足a+b+c=10,a≤b≤c,a+bc.通过计数可知满足条件的三元组为(2,4,4)和(3,3,4),共两个.

2.【答案】23个.

【解析】考虑完整的4×4方格表，共有正方形16+9+4+1=30个，而去掉左上角和右下角两个方格后少了7个，所以最终有30-7=23个.

3.【答案】14.

【解析】将7个顶点顺时针编号为A、B、C、D、E、F、G，考虑顶点A，其他顶点类似.考虑含边AB或AG的钝角三角形有7个,即△ABC、△ABD、△ABF、△ABG、△AGF、△AGE、△AGC;不含边AB或AG的钝角三角形有2个,即△ACD、△AFE.这些就是所含顶点A的钝角三角形.由于每个钝角三角形有3个顶点，所以共有(7+2)×7÷3=21个钝角三角形.

4.【答案】133.

5.【答案】35.

6.【答案】154,84,126.

7.【答案】161.

【解析】由题意可知，三角形个数为1+1×4+3×4+32×4+33×4=161.

8.【答案】2009.

【解析】设共剪纸片n次，每次取出纸片块数分别为a?,a?,…,a?,那么剪后所得纸片总数为:N=5?a1+5

又因为2007=4×501+3,2009=4×502+1,所以纸片总数是2009.

9.【答案】118.

【解析】①底边与BC平行，且下边底大，上边底小的梯形(以AD为1个单位)中，下边底长为5个单位的有1×4=4个；下底边长为4个单位的有(2+1)×3=9个;下底边长为3个单位的有(3+2+1)×2=12个;下底边长为2个单位的有(4+3+2+1)×1=10个.故这样的梯形共有35个.

②底与BC平行，且下边底小，上边底大的梯形中，上底长分别为4、3、2的梯形各有1、4、6个，故这样的梯形共有11个.

③底与AB平行，且左边底大，右边底小的梯形中,大底分别为4、3、2的各有6、10、9个;而右边底大，左边底小的梯形中，大底分别为4、3、2的各有1、4、6个，故这样的梯形共有36个.

④同(3)可知,与CD平行的梯形也有36个.

综上所述可知，图中共有梯形35+11+36×2=118个.

10.【答案】35.

【解析】此图中三角形个数与若ABCDE为正五边形时是一样的，我们不妨认为多边形ABCDE是正五边形，先从最小的三角形开始.列举如下：

①与△AGF相同的三角形共有5个;

②与△AEF相同的三角形共有5个；

③与△AGE相同的三角形共有10个；

④与△AED相同的三角形共有5个；

⑤与△BIE相同的三角形共有5个；

⑥与△ACD相同的三角形共有5个.

所以图中三角形总数为5×5+10=35个.

二、解答题